1. $g$ est continue sur $[0; 1]$ et dérivable sur $]0; 1[$.
    \[ g(0) = (1-0) \int_0^0 f(t) \,dt = 0 \] \[ g(1) = (1-1) \int_0^1 f(t) \,dt = 0 \] D'aprÚs le théorÚme de Rolle, il existe $\alpha \in ]0; 1[$ tel que : \[ g'(\alpha) = 0 \]

  2. Pour tout $x \in [0; 1]$ : \[ g'(x) = - \int_0^x f(t) \,dt + (1-x)f(x) = h(x) \] $h$ est continue sur $[0; \alpha]$ et dérivable sur $]0; \alpha[$.
    \[ h(0) = - \int_0^0 f(t) \,dt + (1-0)f(0) = 0 \] \[ h(\alpha) = g'(\alpha) = 0 \] D'aprĂšs le thĂ©orĂšme de Rolle, il existe $x_0 \in ]0; \alpha[ \subset ]0; 1[$ tel que : \[ h'(x_0) = 0 \] Calcul de la dĂ©rivĂ©e : \[ h'(x) = -f(x) - f(x) + (1-x)f'(x) = (1-x)f'(x) - 2f(x) \] L'Ă©quation $h'(x_0) = 0$ donne : \[ (1-x_0)f'(x_0) = 2f(x_0) \implies f'(x_0) = \frac{2}{1-x_0} f(x_0) \] Comme $x_0 \in ]0; 1[$, on a $0 < 1-x_0 < 1$, d'oĂč $\frac{2}{1-x_0} > 2$.
    En supposant $f(x_0) > 0$, on obtient directement : \[ f'(x_0) > 2f(x_0) \]