1. Domaine de définition $D_f$ :
    La fonction $ t \longmapsto \frac{1}{\sqrt{1+t^2}} $ est continue sur $ \mathbb{R} $.
    Son intégrale est donc définie pour tout $ x \in \mathbb{R} $.
    L'expression $ f(x) $ est définie pour $ x \neq 0 $ et on a $ f(0) = 1 $.
    Par conséquent, $$ D_f = \mathbb{R} $$
  2. Parité de la fonction $f$ :
    Pour tout $ x \in \mathbb{R}^* $, on a $ -x \in \mathbb{R}^* $.
    $$ f(-x) = -\frac{1}{x} \int_0^{-x} \frac{dt}{\sqrt{1+t^2}} $$ En effectuant le changement de variable $ u = -t $ ($ du = -dt $), on obtient :
    $$ f(-x) = -\frac{1}{x} \int_0^x \frac{-du}{\sqrt{1+(-u)^2}} = \frac{1}{x} \int_0^x \frac{du}{\sqrt{1+u^2}} = f(x) $$ De plus, $ f(-0) = f(0) = 1 $. La fonction $ f $ est donc paire.
    1. Pour tout $ t \in [0, x] $ :
      $$ 1 \le 1+t^2 \le 1+x^2 \implies \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \le \frac{1}{\sqrt{1+t^2}} \le 1 $$ En intégrant sur $ [0, x] $ ($ x > 0 $) :
      $$ \int_0^x \frac{dt}{\sqrt{1+x^2}} \le \int_0^x \frac{dt}{\sqrt{1+t^2}} \le \int_0^x 1 \,dt $$ $$ \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \le \int_0^x \frac{dt}{\sqrt{1+t^2}} \le x $$
    2. En divisant l'inégalité précédente par $ x > 0 $, on obtient :
      $$ \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \le f(x) \le 1 $$ Comme $ \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} = 1 $, le théorÚme des gendarmes donne $ \lim_{x \to 0^+} f(x) = 1 = f(0) $. $ f $ est continue à droite en $ 0 $.
      Pour la dérivabilité en $ 0 $ à droite, on étudie le taux d'accroissement :
      $$ \frac{f(x) - 1}{x} = \frac{1}{x^2} \int_0^x \left( \frac{1}{\sqrt{1+t^2}} - 1 \right) dt $$ À partir de l'encadrement, on dĂ©duit :
      $$ \frac{1 - \sqrt{1+x^2}}{x \sqrt{1+x^2}} \le \frac{f(x) - 1}{x} \le 0 $$ En multipliant par l'expression conjuguée à gauche :
      $$ \frac{-x}{\sqrt{1+x^2}(1+\sqrt{1+x^2})} \le \frac{f(x) - 1}{x} \le 0 $$ Puisque la limite de l'expression de gauche est $ 0 $ quand $ x \to 0^+ $, on a: \[ \lim_{x \to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x-0} = 0\] $ f $ est donc dérivable à droite en $ 0 $ et $ f'_d(0) = 0 $.
    1. On a pour $t\geq 0$: \[(1-t)^2\geq 0\implies 1+t^2\geq t\] Ce qui donne: \[\frac{1}{\sqrt{1+t^2}} \le \frac{1}{\sqrt{t}} \]
    2. Pour $ x > 1 $, on sépare l'intégrale (relation de Chasles) :
      $$ 0 \le \int_0^x \frac{dt}{\sqrt{1+t^2}} = \int_0^1 \frac{dt}{\sqrt{1+t^2}} + \int_1^x \frac{dt}{\sqrt{1+t^2}} $$ En utilisant l'inégalité précédente :
      $$ \int_1^x \frac{dt}{\sqrt{1+t^2}} \le \int_1^x t^{-\frac{1}{2}} \,dt = \left[ 2\sqrt{t} \right]_1^x = 2\sqrt{x} - 2 \le 2\sqrt{x} $$ On en déduit :
      $$ 0 \le f(x) \le \frac{1}{x} \int_0^1 \frac{dt}{\sqrt{1+t^2}} + \frac{2}{\sqrt{x}} $$ Les termes Ă  droite tendent vers $ 0 $ lorsque $ x \to +\infty $.
      Donc $$ \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0 $$
  5. Variations et courbe représentative :
    Pour $ x > 0 $, $ f $ est le produit de fonctions dérivables. Sa dérivée est :
    $$ f'(x) = \frac{\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} - \int_0^x \frac{dt}{\sqrt{1+t^2}}}{x^2} $$ D'aprÚs la question 3.a, le numérateur est négatif, donc $ f'(x) \le 0 $ pour $ x > 0 $. La fonction est strictement décroissante sur $ ]0, +\infty[ $. Par parité, elle est strictement croissante sur $ ]-\infty, 0[ $.
    La courbe $ \mathscr{C}_f $ admet l'axe des abscisses comme asymptote horizontale en $ \pm\infty $ et une tangente horizontale au point $ (0, 1) $.

    x f '(x) f(x) -∞ 0 +∞ + 0 - 0 1 0
  7. Courbe représentative $C_f$