• Analyse de la fonction $\varphi$ :
    Soit $ F(x) = \int_0^x f(t) \,dt $.
    Puisque $ f $ est continue sur $[0, 1]$, $ F $ est dérivable sur $[0, 1]$ et $ F'(x) = f(x) $.
    La fonction $ \varphi(x) = e^{-x} F(x) ~$ est dérivable sur $~[0, 1]~$ comme produit de fonctions dérivables.
  • ThĂ©orĂšme de Rolle :
    1. $\varphi(0) = 0$
    2. $\varphi(1) = e^{-1} \int_0^1 f(t) \,dt = 0$
    D'aprÚs le théorÚme de Rolle, il existe $ c \in ]0, 1[ $ tel que :
    \[ \varphi'(c) = 0 \]
  • D'une part, on a pour tout $ x \in [0, 1] $: \[ \varphi'(x) = e^{-x} \left( f(x) - \int_0^x f(t) \,dt \right) \]
  • D'autre part on a: \[\varphi'(c) = 0 \implies f(c) - \int_0^c f(t) \,dt = 0\] On a bien : \[ \int_0^c f(t) \,dt = f(c) \]