1. Calcul de $I_0$
    Pour $n = 0$, l'expression de $I_0$ est : \[ I_0 = \frac{1}{0! 2^{0+1}} \int_0^1 (1-t)^0 e^{\frac{t}{2}} \,dt = \frac{1}{2} \int_0^1 e^{\frac{t}{2}} \,dt \] On détermine directement une primitive : \[ I_0 = \frac{1}{2} \left[ 2e^{\frac{t}{2}} \right]_0^1 = \frac{1}{2} (2e^{\frac{1}{2}} - 2) = \sqrt{e} - 1 \]
  2. Relation de récurrence entre $I_n$ et $I_{n-1}$
    Soit $n \in \mathbb{N}^*$. L'expression de $I_n$ est : \[ I_n = \frac{1}{n! 2^{n+1}} \int_0^1 (1-t)^n e^{\frac{t}{2}} \,dt \] Par intégration par parties : \begin{align*} I_n &= \frac{1}{n! 2^{n+1}} \int_0^1 (1-t)^n (2e^{\frac{t}{2}})' \,dt \\ &= \frac{1}{n! 2^{n+1}} \left( \left[ 2e^{\frac{t}{2}} (1-t)^n \right]_0^1 - \int_0^1 2e^{\frac{t}{2}} \left( -n(1-t)^{n-1} \right) \,dt \right) \\ &= \frac{1}{n! 2^{n+1}} \left( (0 - 2) + 2n \int_0^1 (1-t)^{n-1} e^{\frac{t}{2}} \,dt \right) \\ &= -\frac{2}{n! 2^{n+1}} + \frac{2n}{n! 2^{n+1}} \int_0^1 (1-t)^{n-1} e^{\frac{t}{2}} \,dt \\ &= -\frac{1}{n! 2^n} + \frac{1}{(n-1)! 2^n} \int_0^1 (1-t)^{n-1} e^{\frac{t}{2}} \,dt \\ &= -\frac{1}{n! 2^n} + I_{n-1} \end{align*} D'où la relation : $I_n - I_{n-1} = -\frac{1}{n! 2^n}$.
  3. Déduction de l'expression de $\sqrt{e}$
    D'après la question précédente, on a pour tout entier $k \in \mathbb{N}^*$ : \[ I_k - I_{k-1} = -\frac{1}{k! 2^k} \] En sommant ces égalités pour $k$ allant de $1$ à $n$ : \[ \sum_{k=1}^n (I_k - I_{k-1}) = -\sum_{k=1}^n \frac{1}{k! 2^k} \] Le membre de gauche est une somme télescopique : \[ I_n - I_0 = -\sum_{k=1}^n \frac{1}{k! 2^k} \] Or, d'après la première question, $I_0 = \sqrt{e} - 1. $

    En remplaçant : \[ \sqrt{e} = I_n + 1 + \sum_{k=1}^n \frac{1}{k! 2^k} \] Ce qui donne finalement : \[ \sqrt{e} = \sum_{k=0}^n \frac{1}{k! 2^k} + I_n \]
    1. Majoration de $I_n$
      Pour tout $t \in [0, 1]$, on a :
      • $0 \le 1-t \le 1 \implies 0 \le (1-t)^n \le 1$
      • $0 \le \frac{t}{2} \le \frac{1}{2} \implies 1 \le e^{\frac{t}{2}} \le \sqrt{e}$
      En multipliant membre à membre ces inégalités à termes positifs : \[ 0 \le (1-t)^n e^{\frac{t}{2}} \le \sqrt{e} \] Par croissance de l'intégrale sur l'intervalle $[0, 1]$ : \[ 0 \le \int_0^1 (1-t)^n e^{\frac{t}{2}} \,dt \le \int_0^1 \sqrt{e} \,dt = \sqrt{e} \] En multipliant par le terme strictement positif $\frac{1}{n! 2^{n+1}}$ : \[ 0 \le I_n \le \frac{\sqrt{e}}{n! 2^{n+1}} \] En posant $A = \frac{\sqrt{e}}{2} \in \mathbb{R}^*_+$, on démontre bien qu'il existe un tel réel tel que : \[0\leq I_n\leq \dfrac{A}{n!2^n}\] D'après le théorème des gendarmes, on obtient : \[ \lim_{n \to +\infty} I_n = 0 \] D'après le résultat de la question 3, on peut écrire : \[ \sum_{k=0}^n \frac{1}{k! 2^k} = \sqrt{e} - I_n \] En passant à la limite, on conclut : \[ \lim_{n \to +\infty} \sum_{k=0}^n \frac{1}{k! 2^k} = \sqrt{e} - 0 = \sqrt{e} \]