1. Calcul de l'intégrale $\int_0^1 x^{2n} \,dx$
    Soit $n \in \mathbb{N}$. La fonction $x \mapsto x^{2n}$ est continue sur l'intervalle $[0, 1]$.
    On détermine une primitive directe : \[ \int_0^1 x^{2n} \,dx = \left[ \frac{x^{2n+1}}{2n+1} \right]_0^1 = \frac{1^{2n+1}}{2n+1} - 0 = \frac{1}{2n+1} \]
  2. Expression de $S_n$ sous forme intégrale
    D'aprÚs la question précédente, on peut réécrire le terme général $u_k$ sous forme d'intégrale : \[ u_k = \frac{(-1)^k}{2k+1} = (-1)^k \int_0^1 x^{2k} \,dx = \int_0^1 (-1)^k x^{2k} \,dx = \int_0^1 (-x^2)^k \,dx \] Par linéarité de l'intégrale, la somme $S_n$ devient : \[ S_n = \sum_{k=0}^n u_k = \sum_{k=0}^n \int_0^1 (-x^2)^k \,dx = \int_0^1 \left( \sum_{k=0}^n (-x^2)^k \right) \,dx \] Pour tout $x \in [0, 1]$, la somme à l'intérieur de l'intégrale est la somme des premiers termes d'une suite géométrique de raison $q = -x^2$.
    Puisque $-x^2 \neq 1$, on applique la formule de la somme : \[ \sum_{k=0}^n (-x^2)^k = \frac{1 - (-x^2)^{n+1}}{1 - (-x^2)} = \frac{1 - (-1)^{n+1}x^{2n+2}}{1+x^2} = \frac{1 + (-1)^n x^{2n+2}}{1+x^2} \] En remplaçant dans l'intégrale, on obtient bien : \[ S_n = \int_0^1 \frac{1 + (-1)^n x^{2n+2}}{1+x^2} \,dx \]
  3. En utilisant la linéarité de l'intégrale sur le résultat précédent, on sépare l'expression en deux : \[ S_n = \int_0^1 \frac{1}{1+x^2} \,dx + \int_0^1 \frac{(-1)^n x^{2n+2}}{1+x^2} \,dx \] Or, la fonction $x \mapsto \frac{1}{1+x^2}$ a pour primitive usuelle $x \mapsto \arctan(x)$ sur $\mathbb{R}$. Donc : \[ \int_0^1 \frac{1}{1+x^2} \,dx = [\arctan(x)]_0^1 = \arctan(1) - \arctan(0) = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4} \] On en déduit immédiatement la relation demandée : \[ S_n - \frac{\pi}{4} = (-1)^n \int_0^1 \frac{x^{2n+2}}{1+x^2} \,dx \]
    Pour calculer la limite de $S_n$, majorons la valeur absolue de cette différence. Pour tout $x \in [0, 1]$ : \[ 1 \leq 1 + x^2 \leq 2 \implies 0 \leq \frac{1}{1+x^2} \leq 1 \] En multipliant par $x^{2n+2}$ (qui est positif sur $[0, 1]$) : \[ 0 \leq \frac{x^{2n+2}}{1+x^2} \leq x^{2n+2} \] Par croissance de l'intégrale (les bornes étant dans l'ordre croissant) : \[ 0 \leq \int_0^1 \frac{x^{2n+2}}{1+x^2} \,dx \leq \int_0^1 x^{2n+2} \,dx \] On calcule cette derniÚre intégrale : \[ \int_0^1 x^{2n+2} \,dx = \left[ \frac{x^{2n+3}}{2n+3} \right]_0^1 = \frac{1}{2n+3} \] Ce qui nous donne l'encadrement : \[ 0 \leq \left| S_n - \frac{\pi}{4} \right| \leq \frac{1}{2n+3} \] Comme $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{2n+3} = 0$, d'aprÚs le théorÚme des gendarmes, on conclut que : \[ \lim_{n \to +\infty} \left( S_n - \frac{\pi}{4} \right) = 0 \implies \lim_{n \to +\infty} S_n = \frac{\pi}{4} \]