Première méthode :

1. 
   
   • Puisque $f$ est une bijection continue de $\mathbb{R}^+$ sur $\mathbb{R}^+$, elle est strictement monotone (théorème de la bijection).
   • Si elle était strictement décroissante, sa limite en $+\infty$ serait $0$ et $f(0)$ serait la valeur maximale, ce qui est impossible puisque l'ensemble d'arrivée n'est pas majoré (c'est $[0, +\infty[$).
   • La fonction $f$ est donc nécessairement strictement croissante.
     
   • Par conséquent, elle transforme le minimum de l'ensemble de départ en minimum de l'ensemble d'arrivée : $f(0) = 0$
   • En supposant $f$ de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^+$, appliquons une intégration par parties : \begin{align*} \int_0^x f(t) \,dt &= \int_{0}^{x}{(t)' f(t)\,dt} \\ &= [t f(t)]_0^x - \int_0^x t f'(t) \,dt \\ &= x f(x) - \int_0^x t f'(t) \,dt \end{align*}
   
   
   • Pour la seconde intégrale, remarquons que : \[ \int t f'(t) \,dt = \int t \,d(f(t)) \]
   • Puisque $f$ admet $g$ pour bijection réciproque, on a $t = g(f(t))$, ce qui donne : \[ \int t f'(t) \,dt = \int g(f(t)) \,d(f(t)) \]
   • Le changement de variable $u = f(t)$ s'impose donc naturellement.
     On a alors $du = f'(t) \,dt$ et $t = g(u)$.
     
   • Pour les bornes :
     • $t = 0\implies u = f(0) = 0$
     • $t = x \implies u = f(x)$.
     \[ \int_0^x t f'(t) \,dt = \int_0^{f(x)} g(u) \,du \]
   
   
   • En remplaçant ce résultat dans l'égalité issue de l'intégration par parties : \[ \int_0^x f(t) \,dt = x f(x) - \int_0^{f(x)} g(u) \,du \] Par conséquent : \[ \int_0^x f(t) \,dt + \int_0^{f(x)} g(t) \,dt = x f(x) \]

Deuxième méthode : Utilisation des primitives

1. Soit $F$ la primitive de $f$ s'annulant en $0$ et $G$ la primitive de $g$ s'annulant en $0$.
   Considérons la fonction $H$ définie sur $\mathbb{R}^+$ par : \[ H(x) = F(x) + G(f(x)) - x f(x) \]


2. En supposant $f$ dérivable sur $\mathbb{R}^+$, la fonction $H$ est dérivable.
   En appliquant la formule de la dérivée de la composée pour le terme $G(f(x))$, on obtient : \begin{align*} H'(x) &= F'(x) + G'(f(x)) \cdot f'(x) - \big(1 \cdot f(x) + x \cdot f'(x)\big) \\ H'(x) &= f(x) + g(f(x)) \cdot f'(x) - f(x) - x f'(x) \end{align*}


3. Puisque $g$ est la bijection réciproque de $f$, on a pour tout $x \in \mathbb{R}^+$, $g(f(x)) = x$.
   L'expression de la dérivée se simplifie alors : \[ H'(x) = f(x) + x f'(x) - f(x) - x f'(x) = 0 \] La dérivée étant nulle, la fonction $H$ est constante sur $\mathbb{R}^+$.


4. La fonction $f$ étant une bijection continue de $\mathbb{R}^+$ sur $\mathbb{R}^+$, elle est strictement croissante. L'image de la borne inférieure de l'ensemble de départ est donc la borne inférieure de l'ensemble d'arrivée, d'où $f(0) = 0$.
   Évaluons la constante en calculant $H(0)$ : \[ H(0) = F(0) + G(f(0)) - 0 \cdot f(0) = 0 + G(0) - 0 = 0 \] Puisque $H$ est constante et que $H(0) = 0$, on a $H(x) = 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}^+$.
   Par conséquent : \[ \int_0^x f(t) \,dt + \int_0^{f(x)} g(t) \,dt = x f(x) \]