1. Démonstration de la propriété
    • On pose:
      $t=a+b-x$, ce qui implique, $~dx=-dt$.
    • On détermine les nouvelles bornes d'intégration :
      $x=a \implies t=b$.
      $x=b\implies t=a$.
    • On substitue dans l'intégrale initiale : \[ \int_a^b x f(x) dx = \int_b^a (a+b-t) f(a+b-t) (-dt) \]
    • En utilisant l'hypothèse $f(a+b-t)=f(t)$ : \[ \int_a^b x f(x) dx = \int_a^b (a+b-t) f(t) dt \]
    • Par linéarité de l'intégrale: \[ \int_a^b x f(x) dx = \int_a^b (a+b) f(x) dx - \int_a^b x f(x) dx \]
    • On obtient: \[ 2 \int_a^b x f(x) dx = (a+b) \int_a^b f(x) dx \]
    • Par conséquent : \[ \int_a^b x f(x) dx = \frac{a+b}{2} \int_a^b f(x) dx \]

  2. Application:
    • On pose $f(x)=\frac{\sin x}{1+\cos^2 x}$, continue sur $[0; \pi]$.
    • \[ f(\pi-x) = \frac{\sin(\pi-x)}{1+\cos^2(\pi-x)} = \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} = f(x) \]
    • D'après le résultat de la question précédente : \[ \int_0^\pi \frac{x \sin x}{1+\cos^2 x} dx = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} dx \]
    • Pour calculer l'intégrale restante, on pose $u=\cos x$, d'où $du=-\sin x dx$.
      Pour $x=0$, $u=1$.
      Pour $x=\pi$, $u=-1$.
    • En substituant : \[ \int_0^\pi \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} dx = \int_1^{-1} \frac{-du}{1+u^2} = \int_{-1}^1 \frac{du}{1+u^2} \]
    • Soit en évaluant avec la primitive usuelle : \[ \int_{-1}^1 \frac{du}{1+u^2} = \left[ \arctan u \right]_{-1}^1 = \arctan(1) - \arctan(-1) = \frac{\pi}{4} - \left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{2} \]
    • En conclusion : \[ \int_0^\pi \frac{x \sin x}{1+\cos^2 x} dx = \frac{\pi^2}{4} \]