• Décomposition par la relation de Chasles : \[ \int_{-a}^a \frac{f(x)}{e^x+1} \,dx = \int_{-a}^0 \frac{f(x)}{e^x+1} \,dx + \int_0^a \frac{f(x)}{e^x+1} \,dx \]
• Changement de variable :
  Posons:
  $u = -x~$, d'où $~dx = -du$. \[ \int_{-a}^0 \frac{f(x)}{e^x+1} \,dx = \int_a^0 \frac{f(-u)}{e^{-u}+1} (-du) = \int_0^a \frac{f(-u)}{e^{-u}+1} \,du \]
• Utilisation de la parité :
  La fonction $f$ étant paire, $f(-u) = f(u)$. \[ \frac{1}{e^{-u}+1} = \frac{e^u}{1+e^u} \]
  On obtient alors : \[ \int_{-a}^0 \frac{f(x)}{e^x+1} \,dx =\int_0^a \frac{e^x f(x)}{e^x+1} \,dx \]
• Par conséquent: \begin{align*} \int_{-a}^a \frac{f(x)}{e^x+1} \,dx &= \int_0^a \frac{e^x f(x)}{e^x+1} \,dx + \int_0^a \frac{f(x)}{e^x+1} \,dx\\ \int_{-a}^a \frac{f(x)}{e^x+1} \,dx& = \int_0^a f(x) \left( \frac{e^x + 1}{e^x + 1} \right) \,dx\end{align*} Soit: \[\int_{-a}^a \frac{f(x)}{e^x+1} \,dx= \int_0^a f(x) \,dx \]

2. Application:

• Posons $f(x) = \frac{1}{x^2+1}$.
  La fonction $f$ est continue et paire sur $[-a; a]$.
• D'après le résultat précédent : \[ \int_{-a}^a \frac{dx}{(x^2+1)(e^x+1)} = \int_0^a \frac{1}{x^2+1} \,dx \]
• Par conséquent: \[ \int_{-a}^a \frac{dx}{(x^2+1)(e^x+1)} = \arctan(a) \]