• Étude de la parité de l'intégrande :
  Soit la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = f(x)\cos(nx)$.
  La fonction $f$ étant impaire et la fonction cosinus étant paire, on a : \[ g(-x) = f(-x)\cos(-nx) = -f(x)\cos(nx) = -g(x) \]
  La fonction $g$ est donc impaire.
• Conclusion :
  L'intégrale d'une fonction impaire et continue sur le segment symétrique $[-\pi; \pi]$ est nulle. Par conséquent : \[ \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx) \,dx = 0 \]

2. Intégrale avec la fonction sinus

• Étude de la parité de l'intégrande :
  Soit la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x) = f(x)\sin(nx)$.
  La fonction $f$ et la fonction sinus étant toutes deux impaires, on a : \[ h(-x) = f(-x)\sin(-nx) = (-f(x))(-\sin(nx)) = f(x)\sin(nx) = h(x) \]
  La fonction $h$ est donc paire.
• Conclusion :
  L'intégrale d'une fonction paire et continue sur le segment symétrique $[-\pi; \pi]$ vaut le double de son intégrale sur $[0; \pi]$. Par conséquent : \[ \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx) \,dx = 2\int_0^{\pi} f(x)\sin(nx) \,dx \]