1. Démonstration de la formule de symétrie

• Utilisation de la relation de Chasles : \[ \int_{-a}^a f(t) \,dt = \int_{-a}^0 f(t) \,dt + \int_0^a f(t) \,dt \]
• Changement de variable sur le premier terme :
  Dans l'intégrale $\int_{-a}^0 f(t) \,dt$, posons le changement de variable $u = -t$. \[ \int_{-a}^0 f(t) \,dt = \int_a^0 f(-u) (-du) = -\int_a^0 f(-u) \,du \]
  Soit: \[\int_{-a}^0 f(t) \,dt = \int_0^a f(-u) \,du \]
  La variable d'intégration étant muette, on peut la renommer en $t$ : $\int_0^a f(-t) \,dt$.
• Conclusion par linéarité :
  En remplaçant ce résultat dans la relation de Chasles initiale, on obtient bien : \[ \int_{-a}^a f(t) \,dt = \int_0^a f(-t) \,dt + \int_0^a f(t) \,dt \] \[ \int_{-a}^a f(t) \,dt = \int_0^a (f(t) + f(-t)) \,dt \]

2. Déduction pour les fonctions paires et impaires

1. • Cas où $f$ est une fonction impaire :
     Si $f$ est impaire, alors: \[ f(t) + f(-t) = f(t) - f(t) = 0 \]
     Par conséquent : \[ \int_{-a}^a f(t) \,dt = 0 \]
2. • Cas où $f$ est une fonction paire :
     Si $f$ est paire, alors: \[ f(t) + f(-t) = f(t) + f(t) = 2f(t) \]
     Par conséquent : \[ \int_{-a}^a f(t) \,dt = 2\int_0^a f(t) \,dt \]