1. 1. Démonstration de la propriété de symétrie
    • Considérons l'intégrale $J = \int_a^b f(a+b-x) \,dx$.
    • Effectuons le changement de variable affine $u = a+b-x$.
      On en déduit la différentielle : $du = -dx \implies dx = -du$.
    • Déterminons les nouvelles bornes :
      Pour $x = a$, on a $u = a+b-a = b$.
      Pour $x = b$, on a $u = a+b-b = a$.
    • En substituant dans l'intégrale, on obtient : \[ J = \int_b^a f(u) (-du) = -\int_b^a f(u) \,du \]
    • En utilisant la propriété d'inversion des bornes, le signe moins disparaît : \[ J = \int_a^b f(u) \,du \]
    • La variable d'intégration étant muette, on peut remplacer $u$ par $x$, ce qui achève la démonstration : \[ \int_a^b f(x) \,dx = \int_a^b f(a+b-x) \,dx \]
  2. 2. Application au calcul de l'intégrale $I$
    • On cherche à calculer $I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} (\sqrt{\cos t} - \sqrt{\sin t}) \,dt$.
      Posons la fonction intégrande $f(t) = \sqrt{\cos t} - \sqrt{\sin t}$.
    • Appliquons la propriété démontrée à la question précédente avec $a = \frac{\pi}{6}$ et $b = \frac{\pi}{3}$.
      Calculons la somme des bornes : \[ a+b = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2} \]
    • D'après la propriété de symétrie, on a $I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} f\left(\frac{\pi}{2}-t\right) \,dt$.
      Évaluons l'intégrande avec ce changement d'argument, en utilisant les formules fondamentales des angles complémentaires : \[ \cos\left(\frac{\pi}{2}-t\right) = \sin t \quad \text{et} \quad \sin\left(\frac{\pi}{2}-t\right) = \cos t \]
    • L'expression devient alors : \[ f\left(\frac{\pi}{2}-t\right) = \sqrt{\cos\left(\frac{\pi}{2}-t\right)} - \sqrt{\sin\left(\frac{\pi}{2}-t\right)} = \sqrt{\sin t} - \sqrt{\cos t} \]
    • On remarque immédiatement que cette nouvelle expression est exactement l'opposé de la fonction initiale $f(t)$ : \[ f\left(\frac{\pi}{2}-t\right) = - (\sqrt{\cos t} - \sqrt{\sin t}) = -f(t) \]
    • En remplaçant ce résultat dans notre intégrale, on obtient l'équation : \[ I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} -f(t) \,dt = -\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} f(t) \,dt = -I \]
    • Il ne reste plus qu'à résoudre cette équation très simple $I = -I$, ce qui donne $2I = 0$.
      La valeur exacte de l'intégrale est donc nulle : \[ I = 0 \]