1. 1. Calcul de l'intégrale $L_1$
    • Changement de variable :
      On pose $t = \frac{\pi}{4} - x \implies x = \frac{\pi}{4} - t$.
      La différentielle est $dx = -dt$.
      Pour les bornes : si $x = 0$, $t = \frac{\pi}{4}$. Si $x = \frac{\pi}{4}$, $t = 0$.
    • Substitution dans l'intĂ©grale : \[ L_1 = \int_{\frac{\pi}{4}}^0 \ln\left(1+\tan\left(\frac{\pi}{4}-t\right)\right) (-dt) = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln\left(1+\tan\left(\frac{\pi}{4}-t\right)\right) \,dt \]
    • Transformation trigonomĂ©trique :
      En utilisant la formule d'addition $\tan(a-b) = \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \tan b}$ avec $\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$ : \[ \tan\left(\frac{\pi}{4}-t\right) = \frac{1 - \tan t}{1 + \tan t} \]
      On simplifie l'argument du logarithme : \[ 1 + \tan\left(\frac{\pi}{4}-t\right) = 1 + \frac{1 - \tan t}{1 + \tan t} = \frac{1 + \tan t + 1 - \tan t}{1 + \tan t} = \frac{2}{1 + \tan t} \]
    • RĂ©solution de l'Ă©quation intĂ©grale :
      En réinjectant cette expression dans l'intégrale : \[ L_1 = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln\left(\frac{2}{1+\tan t}\right) \,dt = \int_0^{\frac{\pi}{4}} (\ln 2 - \ln(1+\tan t)) \,dt \]
      Par linéarité de l'intégrale, on sépare en deux termes : \[ L_1 = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln 2 \,dt - \int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln(1+\tan t) \,dt \]
      On reconnaßt l'expression initiale de $L_1$ dans la seconde intégrale (la variable $t$ étant muette) : \[ L_1 = \left[ t \ln 2 \right]_0^{\frac{\pi}{4}} - L_1 \] \[ 2L_1 = \frac{\pi}{4}\ln 2 \implies L_1 = \frac{\pi}{8}\ln 2 \]
  2. 2. Calcul de l'intégrale $L_2$
    • Posons: $~~t = \frac{\pi}{4} - x$.
      Analysons l'argument des fonctions trigonométriques : \[ 2x = \frac{\pi}{2} - 2t \]
      Ce qui implique : \[ \cos(2x) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - 2t\right) = \cos(2t) \] De mĂȘme on montre que: \[\sin(2x)=\sin(2t) \]
    • L'intĂ©grale devient donc : \[ L_2 = \int_0^{\frac{\pi}{4}} (\cos^4(2t) + \sin^4(2t)) (\ln 2 - \ln(1+\tan t)) \,dt \]
    • En dĂ©veloppant l'expression : \[ L_2 = \ln 2 \int_0^{\frac{\pi}{4}} (\cos^4(2t) + \sin^4(2t)) \,dt - \int_0^{\frac{\pi}{4}} (\cos^4(2t) + \sin^4(2t))\ln(1+\tan t) \,dt \]
      La seconde intégrale correspond exactement à $L_2$. On obtient ainsi : \[ 2L_2 = \ln 2 \int_0^{\frac{\pi}{4}} (\cos^4(2t) + \sin^4(2t)) \,dt \]
    • LinĂ©arisation et calcul final :
      Pour calculer l'intégrale restante, linéarisons $\cos^4(2t) + \sin^4(2t)$ : \[ \cos^4(2t) + \sin^4(2t) = (\cos^2(2t) + \sin^2(2t))^2 - 2\sin^2(2t)\cos^2(2t) \] \[ \cos^4(2t) + \sin^4(2t) = 1 - \frac{1}{2}(2\sin(2t)\cos(2t))^2 = 1 - \frac{1}{2}\sin^2(4t) \]
      En utilisant la formule de duplication $\sin^2(4t) = \frac{1-\cos(8t)}{2}$ : \[ 1 - \frac{1}{2}\left(\frac{1-\cos(8t)}{2}\right) = 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{4}\cos(8t) = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos(8t) \]
      On intĂšgre directement cette expression : \[ \int_0^{\frac{\pi}{4}} \left( \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos(8t) \right) \,dt = \left[ \frac{3}{4}t + \frac{1}{32}\sin(8t) \right]_0^{\frac{\pi}{4}} \] \[ = \left( \frac{3}{4}\left(\frac{\pi}{4}\right) + \frac{1}{32}\sin(2\pi) \right) - 0 = \frac{3\pi}{16} \]
      En conclusion, on injecte ce résultat dans notre équation : \[ 2L_2 = \frac{3\pi}{16} \ln 2 \implies L_2 = \frac{3\pi}{32} \ln 2 \]