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Calcul de l'intégrale $ I $ par parties
- On pose : \[ u(t) = \arctan(t) \implies u'(t) = \frac{1}{1+t^2} \] \[ v'(t) = t \implies v(t) = \frac{1}{2}t^2 \]
- En appliquant la formule d'intégration par parties : \[ I = \left[ \frac{1}{2}t^2 \arctan(t) \right]_{-1}^1 - \frac{1}{2}\int_{-1}^1 \frac{t^2}{1+t^2} dt \]
- On calcule le premier terme : \[ \left[ \frac{1}{2}t^2 \arctan(t) \right]_{-1}^1 = \frac{1}{2}(1)\left(\frac{\pi}{4}\right) - \frac{1}{2}(1)\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{4} \]
- Pour la seconde intégrale, on remarque que $ \frac{t^2}{1+t^2} = \frac{t^2+1-1}{1+t^2} = 1 - \frac{1}{1+t^2} $ : \[ \int_{-1}^1 \frac{t^2}{1+t^2} dt = \int_{-1}^1 \left( 1 - \frac{1}{1+t^2} \right) dt = \left[ t - \arctan(t) \right]_{-1}^1 \]
- On Ă©value cette primitive : \[ \left[ t - \arctan(t) \right]_{-1}^1 = \left( 1 - \frac{\pi}{4} \right) - \left( -1 - \left(-\frac{\pi}{4}\right) \right) = 2 - \frac{\pi}{2} \]
- En regroupant les résultats : \[ I = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\left( 2 - \frac{\pi}{2} \right) = \frac{\pi}{4} - 1 + \frac{\pi}{4} \]
- Ce qui donne finalement : \[ I = \frac{\pi}{2} - 1 \]
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Démonstration pour l'intégrale $ J $
- On effectue le changement de variable $ x = -t $, ce qui implique $ dx = -dt $. Les bornes s'inversent de $ 1 $ Ă $ -1 $.
- En substituant dans l'intégrale initiale : \[ J = \int_{1}^{-1} \frac{(-x) \arctan(-x)}{1+e^{-x}} (-dx) \]
- La fonction Arctangente Ă©tant impaire et donc: \[J = \int_{-1}^1 \frac{e^x x \arctan(x)}{1+e^x} dx \]
- La variable d'intégration étant muette, on peut remplacer $ x $ par $ t $ : \[ J = \int_{-1}^1 \frac{e^t}{1+e^t} (t \arctan t) dt \]
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Déduction de la valeur de l'intégrale $ J $
- En additionnant l'expression initiale de $ J $ et celle obtenue à la question précédente : \[ 2J = \int_{-1}^1 \frac{t \arctan(t)}{1+e^t} dt + \int_{-1}^1 \frac{e^t t \arctan(t)}{1+e^t} dt \]
- Par linéarité, on regroupe et factorise le numérateur : \[ 2J = \int_{-1}^1 \frac{t \arctan(t) (1+e^t)}{1+e^t} dt = \int_{-1}^1 t \arctan(t) dt \]
- On reconnaßt l'intégrale $ I $ : \[ 2J = I = \frac{\pi}{2} - 1 \]
- Par conséquent : \[ J = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \]