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DĂ©monstration par changement de variable
- On pose $ t = -x $, ce qui implique par dérivation $ dx = -dt $.
- On détermine les nouvelles bornes d'intégration :
Pour $ x = -\frac{\pi}{4} $, on a $ t = \frac{\pi}{4} $.
Pour $ x = \frac{\pi}{4} $, on a $ t = -\frac{\pi}{4} $. - On substitue dans l'intégrale initiale : \[ I = \int_{\frac{\pi}{4}}^{-\frac{\pi}{4}} \frac{\cos(-t)}{1 + e^{-2t}} (-dt) \]
- La fonction cosinus est paire, donc $ \cos(-t) = \cos(t) $. On utilise le signe négatif de la différentielle pour inverser les bornes de l'intégrale : \[ I = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos t}{1 + e^{-2t}} dt \]
- En multipliant numérateur et dénominateur par par e^{2t}: \[ I = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{e^{2t} \cos t}{1 + e^{2t}} dt \]
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Déduction de la valeur de l'intégrale $ I $
- La variable d'intégration est une variable muette. On peut donc réécrire l'expression obtenue à la question précédente en remplaçant $ t $ par $ x $ : \[ I = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{e^{2x} \cos x}{1 + e^{2x}} dx \]
- On en déduit : \[ 2I= \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos x}{1 + e^{2x}} dx + \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{e^{2x} \cos x}{1 + e^{2x}} dx \]
- Ce qui implique \[ 2I = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos x + e^{2x} \cos x}{1 + e^{2x}} dx = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos x (1 + e^{2x})}{1 + e^{2x}} dx \]
- Soit en simplifiant : \[ 2I = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \cos x dx= \left[ \sin x \right]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} =\sqrt 2\]
- Par conséquent : \[ I = \frac{\sqrt{2}}{2} \]