1. 1. Calcul de l'intégrale paramétrée $I_a(x)$
    1. Mise en place du changement de variable :
      On considĂšre $I_a(x) = \int_0^x t^2 \sqrt{t+a} \,dt$.
      Posons $u = \sqrt{t+a}$. En élevant au carré, on obtient $u^2 = t+a$, ce qui donne $t = u^2 - a$.
      En différenciant cette relation, on trouve : $dt = 2u \,du$.
    2. Changement des bornes :
      Pour $t = 0$, $u = \sqrt{a}$.
      Pour $t = x$, $u = \sqrt{x+a}$.
    3. Réécriture et développement de l'intégrale :
      En substituant dans l'intégrale initiale, on obtient : \[ I_a(x) = \int_{\sqrt{a}}^{\sqrt{x+a}} (u^2 - a)^2 \cdot u \cdot (2u) \,du \] \[ I_a(x) = 2 \int_{\sqrt{a}}^{\sqrt{x+a}} (u^4 - 2au^2 + a^2)u^2 \,du \] \[ I_a(x) = 2 \int_{\sqrt{a}}^{\sqrt{x+a}} (u^6 - 2au^4 + a^2u^2) \,du \]
    4. Calcul de la primitive :
      L'intégration polynomiale est directe : \[ I_a(x) = 2 \left[ \frac{u^7}{7} - \frac{2au^5}{5} + \frac{a^2u^3}{3} \right]_{\sqrt{a}}^{\sqrt{x+a}} \]
      Pour simplifier cette expression, mettons le terme $u^3$ en facteur et rĂ©duisons au mĂȘme dĂ©nominateur ($105$) : \[ 2u^3 \left( \frac{u^4}{7} - \frac{2au^2}{5} + \frac{a^2}{3} \right) = \frac{2u^3}{105} \left( 15u^4 - 42au^2 + 35a^2 \right) \]
    5. Retour Ă  la variable $t$ :
      Sachant que $u^2 = t+a$, remplaçons dans le polynÎme entre parenthÚses : \[ 15(t+a)^2 - 42a(t+a) + 35a^2 = 15(t^2 + 2at + a^2) - 42at - 42a^2 + 35a^2 \] \[ 15t^2 + 30at + 15a^2 - 42at - 7a^2 = 15t^2 - 12at + 8a^2 \]
      La primitive évaluée en $t$ est donc $\frac{2}{105} (t+a)^{\frac{3}{2}} (15t^2 - 12at + 8a^2)$.
    6. Évaluation aux bornes :
      Pour $t = x$, on obtient : $\frac{2}{105} (x+a)^{\frac{3}{2}} (15x^2 - 12ax + 8a^2)$.
      Pour $t = 0$, on obtient : $\frac{2}{105} (a)^{\frac{3}{2}} (8a^2) = \frac{16}{105} a^{\frac{7}{2}}$.
      En factorisant par $\frac{2}{105}$, on aboutit bien au résultat demandé : \[ I_a(x) = \frac{2}{105} \left[ (x+a)^{\frac{3}{2}}(15x^2 - 12ax + 8a^2) - 8a^{\frac{7}{2}} \right] \]
  2. 2. Calcul de l'intégrale $J(x)$
    1. Utilisation de la quantité conjuguée :
      On souhaite calculer $J(x) = \int_0^x \frac{t^2}{\sqrt{t+1}+\sqrt{t+4}} \,dt$.
      Multiplions le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée $\sqrt{t+1} - \sqrt{t+4}$ : \[ \frac{t^2(\sqrt{t+1} - \sqrt{t+4})}{(\sqrt{t+1})^2 - (\sqrt{t+4})^2} = \frac{t^2(\sqrt{t+1} - \sqrt{t+4})}{(t+1) - (t+4)} = \frac{t^2(\sqrt{t+1} - \sqrt{t+4})}{-3} \]
    2. Lien avec l'intégrale $I_a(x)$ :
      Par linéarité de l'intégrale, on peut séparer l'expression en deux : \[ J(x) = -\frac{1}{3} \int_0^x t^2\sqrt{t+1} \,dt + \frac{1}{3} \int_0^x t^2\sqrt{t+4} \,dt \]
      On reconnaßt exactement l'intégrale paramétrée de la premiÚre question, avec $a=1$ et $a=4$ : \[ J(x) = \frac{1}{3} \left( I_4(x) - I_1(x) \right) \]
    3. Application des formules :
      Calculons d'abord $I_4(x)$ (ici $a=4$) : \[ I_4(x) = \frac{2}{105} \left[ (x+4)^{\frac{3}{2}}(15x^2 - 48x + 128) - 8(4)^{\frac{7}{2}} \right] \]
      Sachant que $4^{\frac{7}{2}} = (2^2)^{\frac{7}{2}} = 2^7 = 128$, le terme constant devient $8 \times 128 = 1024$.
      Calculons ensuite $I_1(x)$ (ici $a=1$) : \[ I_1(x) = \frac{2}{105} \left[ (x+1)^{\frac{3}{2}}(15x^2 - 12x + 8) - 8(1)^{\frac{7}{2}} \right] = \frac{2}{105} \left[ (x+1)^{\frac{3}{2}}(15x^2 - 12x + 8) - 8 \right] \]
    4. Conclusion :
      En soustrayant et en factorisant par $\frac{2}{315}$ (qui provient de $\frac{1}{3} \times \frac{2}{105}$), on obtient l'expression finale de $J(x)$ : \[ J(x) = \frac{2}{315} \left[ (x+4)^{\frac{3}{2}}(15x^2 - 48x + 128) - (x+1)^{\frac{3}{2}}(15x^2 - 12x + 8) - 1016 \right] \]