1. 1. Calcul de $F_a(x)$ en fonction de $a$ et $x$
    1. MĂ©thode 1 : Changement de variable classique
      Pour que le résultat dépende de $a$ et corresponde à la limite cherchée, considérons l'intégrale $F_a(x) = \int_x^a \sqrt{\frac{e^t}{1+e^t}} \,dt$.
      Posons $u = \sqrt{\frac{e^t}{1+e^t}}$. En élevant au carré, $u^2 = \frac{e^t}{1+e^t} \implies e^t = \frac{u^2}{1-u^2}$.
      En différenciant $t = \ln(u^2) - \ln(1-u^2)$, on obtient la différentielle : \[ dt = \left( \frac{2}{u} + \frac{2u}{1-u^2} \right) \,du = \frac{2}{u(1-u^2)} \,du \]
      L'intégrale se réécrit alors : \[ \int u \cdot \frac{2}{u(1-u^2)} \,du = \int \frac{2}{1-u^2} \,du \]
      Par décomposition en éléments simples $\frac{2}{1-u^2} = \frac{1}{1+u} + \frac{1}{1-u}$, la primitive est : \[ \ln(1+u) - \ln(1-u) = \ln\left(\frac{1+u}{1-u}\right) \]
      En remplaçant $u$ par son expression initiale : \[ \ln\left( \frac{1+\sqrt{\frac{e^t}{1+e^t}}}{1-\sqrt{\frac{e^t}{1+e^t}}} \right) = \ln\left( \frac{\sqrt{1+e^t} + \sqrt{e^t}}{\sqrt{1+e^t} - \sqrt{e^t}} \right) \]
      Pour simplifier, multiplions le numérateur et le dénominateur par la quantité conjuguée $\sqrt{1+e^t} + \sqrt{e^t}$. Le dénominateur devient $(1+e^t) - e^t = 1$, ce qui donne : \[ \ln\left( (\sqrt{1+e^t} + \sqrt{e^t})^2 \right) = 2\ln(\sqrt{1+e^t} + \sqrt{e^t}) \]
    2. Méthode 2 : Mise en évidence de la différentielle (Astuce rapide)
      L'intégrande peut s'écrire de maniÚre trÚs astucieuse en isolant $e^{t/2}$ au numérateur : \[ \sqrt{\frac{e^t}{1+e^t}} = \frac{e^{t/2}}{\sqrt{1+e^t}} \]
      On remarque que $e^{t/2} \,dt = 2 d(e^{t/2})$. En posant $v = e^{t/2}$, on a $v^2 = e^t$, et l'intégrale prend une forme usuelle immédiate : \[ \int \frac{2 d(e^{t/2})}{\sqrt{1+(e^{t/2})^2}} = \int \frac{2}{\sqrt{1+v^2}} \,dv \]
      La primitive connue de $\frac{1}{\sqrt{1+v^2}}$ est $\ln(v + \sqrt{1+v^2})$.
      La primitive globale est donc directement : \[ 2\ln(e^{t/2} + \sqrt{1+e^t}) = 2\ln(\sqrt{e^t} + \sqrt{1+e^t}) \]
    3. Évaluation de $F_a(x)$ :
      En Ă©valuant cette primitive entre les bornes $x$ et $a$ : \[ F_a(x) = \left[ 2\ln(\sqrt{1+e^t} + \sqrt{e^t}) \right]_x^a \] \[ F_a(x) = 2\ln(\sqrt{1+e^a} + \sqrt{e^a}) - 2\ln(\sqrt{1+e^x} + \sqrt{e^x}) \]
  2. 2. Calcul de la limite en $-\infty$
    1. On cherche Ă  Ă©valuer $\lim\limits_{x \to -\infty} F_a(x)$.
      Commençons par la limite de la partie dépendant de $x$ : \[ \lim_{x \to -\infty} e^x = 0 \implies \lim_{x \to -\infty} \sqrt{e^x} = 0 \quad \text{et} \quad \lim_{x \to -\infty} \sqrt{1+e^x} = 1 \]
    2. On en déduit par somme et composition que : \[ \lim_{x \to -\infty} \ln(\sqrt{1+e^x} + \sqrt{e^x}) = \ln(1+0) = \ln(1) = 0 \]
    3. La limite finale de l'intégrale est donc simplement la constante évaluée en $a$ : \[ \lim_{x \to -\infty} F_a(x) = 2\ln(\sqrt{1+e^a} + \sqrt{e^a}) - 0 \] \[ \lim_{x \to -\infty} F_a(x) = 2\ln(\sqrt{1+e^a} + \sqrt{e^a}) \]