1. 1. Calcul de l'intégrale $I$
    1. Méthode 1 : Changement de variable algébrique
      On calcule $I = \int_1^{\sqrt{5}} \frac{1-t^2}{(1+t^2)\sqrt{1+t^4}} \,dt$.
      Posons le changement de variable $u = t + \frac{1}{t}$.
      On dérive pour trouver la différentielle : $du = \left(1 - \frac{1}{t^2}\right) \,dt = \frac{t^2-1}{t^2} \,dt$.
      Factorisons l'intégrande en divisant le numérateur et le dénominateur par $t^2$ : \[ \frac{1-t^2}{(1+t^2)\sqrt{1+t^4}} = \frac{\frac{1-t^2}{t^2}}{\left(\frac{1+t^2}{t}\right)\left(\frac{\sqrt{1+t^4}}{t}\right)} = \frac{\frac{1}{t^2}-1}{\left(t+\frac{1}{t}\right)\sqrt{\frac{1}{t^2}+t^2}} \]
      On remarque que le numérateur correspond exactement à $-du$.
      De plus, en élevant $u$ au carré : $u^2 = \left(t+\frac{1}{t}\right)^2 = t^2 + 2 + \frac{1}{t^2}$, ce qui donne $t^2 + \frac{1}{t^2} = u^2 - 2$.
      L'intégrale se réécrit donc en fonction de $u$ : \[ I = \int_2^{\frac{6}{\sqrt{5}}} \frac{-1}{u\sqrt{u^2-2}} \,du \]
      Pour Ă©valuer ceci, effectuons un second changement de variable $w = \sqrt{u^2-2} \implies du = \frac{w}{u} \,dw$.
      En substituant : $\frac{-1}{uw} \left(\frac{w}{u} \,dw\right) = \frac{-dw}{u^2} = \frac{-dw}{w^2+2}$. \[ I = \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{\frac{26}{5}}} \frac{-1}{w^2+2} \,dw = \left[ -\frac{1}{\sqrt{2}}\text{Arctan}\left(\frac{w}{\sqrt{2}}\right) \right]_{\sqrt{2}}^{\sqrt{\frac{26}{5}}} \] \[ I = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \frac{\pi}{4} - \text{Arctan}\left(\sqrt{\frac{13}{5}}\right) \right) \]
    2. MĂ©thode 2 : Passage par l'exponentielle
      Posons $t = e^x \implies dt = e^x \,dx$.
      Exprimons chaque terme en faisant apparaĂźtre $\cosh(x)$ et $\sinh(x)$ : \[ 1 - t^2 = 1 - e^{2x} = -2e^x\sinh(x) \] \[ 1 + t^2 = 1 + e^{2x} = 2e^x\cosh(x) \] \[ 1 + t^4 = 1 + e^{4x} = 2e^{2x}\cosh(2x) \]
      En injectant ces expressions dans l'intégrale : \[ I = \int \frac{-2e^x\sinh(x)}{2e^x\cosh(x)\sqrt{2e^{2x}\cosh(2x)}} e^x \,dx = \int \frac{-\sinh(x)}{\cosh(x)\sqrt{2\cosh(2x)}} \,dx \]
      En utilisant $\cosh(2x) = 2\cosh^2(x) - 1$ : \[ I = \int \frac{-\sinh(x)}{\cosh(x)\sqrt{4\cosh^2(x) - 2}} \,dx \]
      Il ne reste qu'Ă  poser $u = \cosh(x) \implies du = \sinh(x) \,dx$ : \[ I = \int \frac{-du}{u\sqrt{4u^2 - 2}} \]
      On retombe sur l'intégrale de la méthode précédente, prouvant que $u = t + \frac{1}{t}$ était un passage caché aux fonctions hyperboliques.
  2. 2. Calcul de l'intégrale $J$
    1. MĂ©thode 1 : Changement de variable classique
      On calcule $J = \int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{6}} \frac{\sin x}{\cos(2x)\cos x} \,dx$.
      Posons $t = \cos(2x) \implies dt = -4\sin x \cos x \,dx \implies \sin x \,dx = \frac{-dt}{4\cos x}$.
      En remplaçant : \[ J = \int \frac{1}{t \cos x} \left(\frac{-dt}{4\cos x}\right) = \int \frac{-dt}{4t \cos^2 x} \]
      Avec $\cos^2 x = \frac{1+t}{2}$ : \[ J = \int \frac{-dt}{2t(1+t)} \]
      Par décomposition $\frac{1}{t(1+t)} = \frac{1}{t} - \frac{1}{1+t}$ : \[ J = -\frac{1}{2} \int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\frac{1}{2}} \left( \frac{1}{t} - \frac{1}{1+t} \right) \,dt = -\frac{1}{2} \left[ \ln\left(\frac{t}{1+t}\right) \right]_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\frac{1}{2}} \] \[ J = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{3}{\sqrt{2}+1}\right) \]
    2. Méthode 2 : Décomposition trigonométrique (Astuce)
      On multiplie le numérateur et le dénominateur par $\cos x$ : \[ \frac{\sin x}{\cos(2x)\cos x} = \frac{\sin x \cos x}{\cos(2x)\cos^2 x} \]
      Sachant que $\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1$, on décompose l'inverse du dénominateur : \[ \frac{1}{(2\cos^2 x - 1)\cos^2 x} = \frac{2}{2\cos^2 x - 1} - \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{2}{\cos(2x)} - \frac{1}{\cos^2 x} \]
      En multipliant par le numérateur $\sin x \cos x$ : \[ \frac{2\sin x \cos x}{\cos(2x)} - \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} = \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} - \frac{\sin x}{\cos x} = \tan(2x) - \tan x \]
      L'intégration est alors immédiate : \[ J = \int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{6}} (\tan(2x) - \tan x) \,dx = \left[ -\frac{1}{2}\ln(\cos(2x)) + \ln(\cos x) \right]_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{6}} \] \[ J = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{3}{\sqrt{2}+1}\right) \]
  3. 3. Calcul de l'intégrale $K$
    1. Mise en évidence de la différentielle (Astuce) :
      On calcule $K = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin x}{\cos(x)\sqrt{2+\sin^2 x}} \,dx$.
      Pour rendre le changement de variable évident, multiplions le numérateur et le dénominateur par $2\cos x$ : \[ K = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{2\sin x \cos x}{2\cos^2 x \sqrt{2+\sin^2 x}} \,dx \]
    2. RĂ©Ă©criture et changement de variable :
      On reconnaßt au numérateur la différentielle $d(\sin^2 x) = 2\sin x \cos x \,dx$, et au dénominateur $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$. \[ K = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{d(\sin^2 x)}{2(1-\sin^2 x)\sqrt{2+\sin^2 x}} \]
      En posant $t = \sin^2 x$, les bornes deviennent $\frac{1}{4}$ et $\frac{3}{4}$, et l'intégrale s'écrit instantanément : \[ K = \int_{\frac{1}{4}}^{\frac{3}{4}} \frac{dt}{2(1-t)\sqrt{2+t}} \]
    3. Second changement de variable et Ă©valuation :
      Posons $u = \sqrt{2+t} \implies t = u^2-2 \implies dt = 2u \,du$. \[ K = \int_{\frac{3}{2}}^{\frac{\sqrt{11}}{2}} \frac{2u \,du}{2(1-(u^2-2))u} = \int_{\frac{3}{2}}^{\frac{\sqrt{11}}{2}} \frac{du}{3-u^2} \]
      Par décomposition $\frac{1}{3-u^2} = \frac{1}{2\sqrt{3}}\left(\frac{1}{\sqrt{3}+u} + \frac{1}{\sqrt{3}-u}\right)$ : \[ K = \frac{1}{2\sqrt{3}} \left[ \ln\left|\frac{\sqrt{3}+u}{\sqrt{3}-u}\right| \right]_{\frac{3}{2}}^{\frac{\sqrt{11}}{2}} \] \[ K = \frac{1}{\sqrt{3}} \ln\left(\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{11}}{2+\sqrt{3}}\right) \]
  4. 4. Calcul de l'intégrale $L$
    1. On calcule $L = \int_1^e \frac{\cos(\ln t)}{t} \,dt$.
      Posons $x = \ln t$. La différentielle est immédiate : $dx = \frac{1}{t} \,dt$.
    2. Les nouvelles bornes se calculent facilement :
      Pour $t=1$, $x = 0$.
      Pour $t=e$, $x = 1$.
    3. L'intégrale se simplifie spectaculairement : \[ L = \int_0^1 \cos(x) \,dx = \left[ \sin(x) \right]_0^1 = \sin(1) \]