1. Calcul de $I_1$

1. On calcule $I_1 = \int_0^1 \frac{dt}{1+t^2}$.
2. L'intégrande est la dérivée usuelle de la fonction Arctangente. Le calcul est donc direct : \[ I_1 = \left[ \text{Arctan}(t) \right]_0^1 \] \[ I_1 = \frac{\pi}{4} \]

1. Expression de $I_{n+1} - I_n$ :
   Commençons par regrouper les deux termes sous une même intégrale : \[ I_{n+1} - I_n = \int_0^1 \left( \frac{1}{(1+t^2)^{n+1}} - \frac{1}{(1+t^2)^n} \right) \,dt \]
   En réduisant au même dénominateur : \[ I_{n+1} - I_n = \int_0^1 \frac{1 - (1+t^2)}{(1+t^2)^{n+1}} \,dt = \int_0^1 \frac{-t^2}{(1+t^2)^{n+1}} \,dt \]
2. On prépare l'intégration par parties en remarquant que $\frac{-t}{(1+t^2)^{n+1}} = \left( \frac{1}{2n(1+t^2)^n} \right)'$.
   On pose donc notre intégration implicite : \[ I_{n+1} - I_n = \int_0^1 t \left( \frac{1}{2n(1+t^2)^n} \right)' \,dt \] \[ I_{n+1} - I_n = \left[ \frac{t}{2n(1+t^2)^n} \right]_0^1 - \int_0^1 1 \cdot \frac{1}{2n(1+t^2)^n} \,dt \]
3. En évaluant le terme entre crochets et en sortant les constantes de la deuxième intégrale : \[ I_{n+1} - I_n = \left( \frac{1}{2n(2)^n} - 0 \right) - \frac{1}{2n} \int_0^1 \frac{1}{(1+t^2)^n} \,dt \]
   On reconnaît l'expression de $I_n$, ce qui nous donne la formule de récurrence : \[ I_{n+1} - I_n = \frac{1}{n2^{n+1}} - \frac{1}{2n}I_n \]
4. Déduction de $I_2$ :
   On applique la formule trouvée pour $n = 1$ : \[ I_2 - I_1 = \frac{1}{1 \cdot 2^2} - \frac{1}{2}I_1 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{4}\right) \] \[ I_2 = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{4} - \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{8} + \frac{1}{4} \] Soit: \[I_2= \frac{\pi + 2}{8} \]
5. Déduction de $I_3$ :
   On applique la formule trouvée pour $n = 2$ : \[ I_3 - I_2 = \frac{1}{2 \cdot 2^3} - \frac{1}{4}I_2 = \frac{1}{16} - \frac{1}{4}\left(\frac{\pi + 2}{8}\right) \]
   En isolant $I_3$ et en remplaçant $I_2$ par sa valeur : \[ I_3 = I_2 + \frac{1}{16} - \frac{\pi + 2}{32} \] \[ I_3 = \frac{4\pi + 8}{32} + \frac{2}{32} - \frac{\pi + 2}{32} \] Soit: \[I_3= \frac{3\pi + 8}{32} \]