1. Calcul de $A_0$ et $B_0$

• Pour $n = 0$, l'exponentielle vaut $e^0 = 1$.
• Calcul de $A_0$ : \[ A_0 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(x) \,dx = \left[ -\cos(x) \right]_0^{\frac{\pi}{2}} \] \[ A_0 = -\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) - (-\cos(0)) = 0 - (-1) = 1 \]
• Calcul de $B_0$ : \[ B_0 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos(x) \,dx = \left[ \sin(x) \right]_0^{\frac{\pi}{2}} \] \[ B_0 = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - \sin(0) = 1 - 0 = 1 \]

2. Relations de récurrence par intégration par parties

1. Démonstration de $A_n + nB_n = 1$ :
   On intègre $A_n$ par parties en posant implicitement la dérivée de $(-\cos(x))$ : \[ A_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^{-nx} (-\cos(x))' \,dx \] \[ A_n = \left[ -e^{-nx}\cos(x) \right]_0^{\frac{\pi}{2}} - \int_0^{\frac{\pi}{2}} (-ne^{-nx})(-\cos(x)) \,dx \] \[ A_n = \left( 0 - (-1) \right) - n \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^{-nx}\cos(x) \,dx \] \[ A_n = 1 - nB_n \]
   En regroupant les termes, on obtient bien : \[ A_n + nB_n = 1 \]
2. Démonstration de $-nA_n + B_n = e^{-\frac{n\pi}{2}}$ :
   De manière analogue, on intègre $B_n$ par parties en remarquant que $\cos(x) = (\sin(x))'$ : \[ B_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^{-nx} (\sin(x))' \,dx \] \[ B_n = \left[ e^{-nx}\sin(x) \right]_0^{\frac{\pi}{2}} - \int_0^{\frac{\pi}{2}} (-ne^{-nx})\sin(x) \,dx \] \[ B_n = \left( e^{-\frac{n\pi}{2}} \cdot 1 - 0 \right) + n \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^{-nx}\sin(x) \,dx \] \[ B_n = e^{-\frac{n\pi}{2}} + nA_n \]
   En réorganisant l'équation, on trouve : \[ -nA_n + B_n = e^{-\frac{n\pi}{2}} \]

• Nous disposons du système d'équations linéaires suivant : \[ \begin{cases} A_n + nB_n = 1 \\\\ -nA_n + B_n = e^{-\frac{n\pi}{2}} \end{cases} \]
• En résolvant le système ci dessus on trouve: \begin{cases} B_n &= \frac{n + e^{-\frac{n\pi}{2}}}{n^2 + 1} \\\\ A_n &= \frac{1 - ne^{-\frac{n\pi}{2}}}{n^2 + 1} \end{cases}
• On en déduit: \begin{cases} \lim_{n \to +\infty} A_n = 0 \\\\ \lim_{n \to +\infty} B_n = 0 \end{cases}