1. Calcul de $F_a(x)$ :
      Considérons la fonction $H(t) = \ln(t+\sqrt{t^2+a^2})$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$.
      DĂ©rivons cette fonction en utilisant la formule de composition $(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$ : \[ H'(t) = \frac{1 + \frac{2t}{2\sqrt{t^2+a^2}}}{t+\sqrt{t^2+a^2}} = \frac{1 + \frac{t}{\sqrt{t^2+a^2}}}{t+\sqrt{t^2+a^2}} \] \[ H'(t) = \frac{\frac{\sqrt{t^2+a^2} + t}{\sqrt{t^2+a^2}}}{t+\sqrt{t^2+a^2}} \]
      En simplifiant par le facteur commun $(t+\sqrt{t^2+a^2})$ : \[ H'(t) = \frac{1}{\sqrt{t^2+a^2}} \]
    2. Déduction de l'intégrale :
      L'intégrande de $F_a(x)$ est exactement la dérivée $H'(t)$. L'intégration est donc directe : \[ F_a(x) = \int_0^x H'(t) \,dt = \left[ H(t) \right]_0^x \] \[ F_a(x) = H(x) - H(0) = \ln(x+\sqrt{x^2+a^2}) - \ln(0+\sqrt{0^2+a^2}) \] \[ F_a(x) = \ln(x+\sqrt{x^2+a^2}) - \ln a \]
    1. Expression de $G_a(x)$ par intégration par parties :
      Calculons $G_a(x)$ en remarquant que l'intégrande peut s'écrire $1 \cdot \sqrt{t^2+a^2}$ : \[ G_a(x) = \int_0^x (t)' \sqrt{t^2+a^2} \,dt \] \[ G_a(x) = \left[ t\sqrt{t^2+a^2} \right]_0^x - \int_0^x t \cdot \frac{2t}{2\sqrt{t^2+a^2}} \,dt \] \[ G_a(x) = x\sqrt{x^2+a^2} - 0 - \int_0^x \frac{t^2}{\sqrt{t^2+a^2}} \,dt \]
    2. Lien entre $F_a(x)$ et $G_a(x)$ :
      Utilisons une astuce algébrique pour l'intégrale restante en écrivant $t^2 = (t^2+a^2) - a^2$ : \[ \int_0^x \frac{t^2}{\sqrt{t^2+a^2}} \,dt = \int_0^x \frac{t^2+a^2-a^2}{\sqrt{t^2+a^2}} \,dt \] \[ \int_0^x \frac{t^2}{\sqrt{t^2+a^2}} \,dt = \int_0^x \left( \frac{t^2+a^2}{\sqrt{t^2+a^2}} - \frac{a^2}{\sqrt{t^2+a^2}} \right) \,dt \] \[ \int_0^x \frac{t^2}{\sqrt{t^2+a^2}} \,dt = \int_0^x \sqrt{t^2+a^2} \,dt - a^2 \int_0^x \frac{1}{\sqrt{t^2+a^2}} \,dt \]
      On reconnaßt ici précisément les expressions de $G_a(x)$ et $F_a(x)$ : \[ \int_0^x \frac{t^2}{\sqrt{t^2+a^2}} \,dt = G_a(x) - a^2 F_a(x) \]
    3. Conclusion :
      En réinjectant cette relation dans l'équation issue de l'intégration par parties : \[ G_a(x) = x\sqrt{x^2+a^2} - (G_a(x) - a^2 F_a(x)) \] \[ G_a(x) = x\sqrt{x^2+a^2} - G_a(x) + a^2 F_a(x) \]
      En isolant $G_a(x)$ : \[ 2G_a(x) = x\sqrt{x^2+a^2} + a^2 F_a(x) \] \[ G_a(x) = \frac{1}{2}x\sqrt{x^2+a^2} + \frac{a^2}{2}F_a(x) \]
      Finalement, en remplaçant $F_a(x)$ par le résultat de la premiÚre question : \[ G_a(x) = \frac{1}{2}x\sqrt{x^2+a^2} + \frac{a^2}{2}\left(\ln(x+\sqrt{x^2+a^2}) - \ln a\right) \]