1. 1. DĂ©monstration de la relation $J + 2I = K$
    1. Par linéarité de l'intégrale, on additionne les expressions de $J$ et $2I$ : \[ J + 2I = \int_0^1 \frac{x^2}{\sqrt{x^2+2}} \,dx + 2\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x^2+2}} \,dx \] \[ J + 2I = \int_0^1 \frac{x^2+2}{\sqrt{x^2+2}} \,dx \]
    2. En simplifiant l'intégrande sachant que ( $ x^2+2 > 0$) : \[ J + 2I = \int_0^1 \sqrt{x^2+2} \,dx \] \[ J + 2I = K \]
  2. 2. Étude de la fonction $f$ et calcul de $I$
    1. Calcul de $f'(x)$ :
      La fonction $f(x) = \ln(x+\sqrt{x^2+2})$ est dérivable sur $[0;1]$. En utilisant la formule de composition $(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$ : \[ f'(x) = \frac{1 + \frac{2x}{2\sqrt{x^2+2}}}{x+\sqrt{x^2+2}} = \frac{1 + \frac{x}{\sqrt{x^2+2}}}{x+\sqrt{x^2+2}} \] \[ f'(x) = \frac{\frac{\sqrt{x^2+2} + x}{\sqrt{x^2+2}}}{x+\sqrt{x^2+2}} \]
      En simplifiant par le facteur commun $(x+\sqrt{x^2+2})$ : \[ f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2+2}} \]
    2. DĂ©duction de la valeur de $I$ :
      L'intégrande de $I$ correspond exactement à $f'(x)$. On peut donc intégrer directement : \[ I = \int_0^1 f'(x) \,dx = \left[ f(x) \right]_0^1 \] \[ I = f(1) - f(0) = \ln(1+\sqrt{1^2+2}) - \ln(0+\sqrt{0^2+2}) \] \[ I = \ln(1+\sqrt{3}) - \ln(\sqrt{2}) \] \[ I = \ln\left(\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right) \]
  3. 3. Calcul de $K$ et $J$ par intégration par parties
    1. Relation entre $K$ et $J$ :
      Calculons $K$ par intégration par parties (une seule itération suffit ici pour faire le lien direct) : \[ K = \int_0^1 1 \cdot \sqrt{x^2+2} \,dx = \int_0^1 (x)' \sqrt{x^2+2} \,dx \] \[ K = \left[ x\sqrt{x^2+2} \right]_0^1 - \int_0^1 x \cdot \frac{2x}{2\sqrt{x^2+2}} \,dx \] \[ K = \left( 1\sqrt{3} - 0 \right) - \int_0^1 \frac{x^2}{\sqrt{x^2+2}} \,dx \]
      On reconnaßt l'expression exacte de $J$ dans la derniÚre intégrale : \[ K = \sqrt{3} - J \]
    2. DĂ©duction des valeurs de $J$ et $K$ :
      Nous disposons du systÚme formé par les questions précédentes : \[ \begin{cases} K = J + 2I \\ K = \sqrt{3} - J \end{cases} \]
      En Ă©galisant les deux expressions de $K$ : \[ J + 2I = \sqrt{3} - J \implies 2J = \sqrt{3} - 2I \implies J = \frac{\sqrt{3}}{2} - I \]
      En remplaçant $I$ par sa valeur calculée précédemment : \[ J = \frac{\sqrt{3}}{2} - \ln\left(\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right) \]
      Enfin, pour déterminer $K$, utilisons l'équation $K = \sqrt{3} - J$ : \[ K = \sqrt{3} - \left( \frac{\sqrt{3}}{2} - \ln\left(\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right) \right) \] \[ K = \frac{\sqrt{3}}{2} + \ln\left(\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right) \]