1. Calcul de $I_0$ :
      Pour $n = 0$, on a : \[ I_0 = \int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \,dx \]
      On reconnaßt la forme $\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}$ en posant $u(x) = 1+x^2$, ce qui permet une intégration directe : \[ I_0 = \left[ \sqrt{1+x^2} \right]_0^1 \] \[ I_0 = \sqrt{1+1^2} - \sqrt{1+0^2} \] \[ I_0 = \sqrt{2} - 1 \]
    1. Relation de récurrence pour $I_{n+1}$ :
      Pour tout $n \in \mathbb{N}$, l'intégrale au rang $n+1$ s'écrit : \[ I_{n+1} = \int_0^1 \frac{x^{2n+3}}{\sqrt{1+x^2}} \,dx = \int_0^1 x^{2n+2} \cdot \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \,dx \]
      Par intégration par parties : \[ I_{n+1} = \int_0^1 x^{2n+2} \left(\sqrt{1+x^2}\right)' \,dx \] \[ I_{n+1} = \left[ x^{2n+2} \sqrt{1+x^2} \right]_0^1 - \int_0^1 (2n+2)x^{2n+1} \sqrt{1+x^2} \,dx \] \[ I_{n+1} = \left( 1^{2n+2}\sqrt{2} - 0 \right) - 2(n+1) \int_0^1 x^{2n+1} \frac{1+x^2}{\sqrt{1+x^2}} \,dx \] \[ I_{n+1} = \sqrt{2} - 2(n+1) \int_0^1 \frac{x^{2n+1} + x^{2n+3}}{\sqrt{1+x^2}} \,dx \]
      En séparant la fraction par linéarité de l'intégrale : \[ I_{n+1} = \sqrt{2} - 2(n+1) (I_n + I_{n+1}) \] \[ I_{n+1} = \sqrt{2} - 2(n+1)I_n - 2(n+1)I_{n+1} \]
      En regroupant les termes en $I_{n+1}$ dans le membre de gauche : \[ I_{n+1} + 2(n+1)I_{n+1} = \sqrt{2} - 2(n+1)I_n \] \[ (2n+3)I_{n+1} = \sqrt{2} - 2(n+1)I_n \]
    1. DĂ©duction de la valeur de $I_1$ :
      En appliquant la formule de récurrence pour $n = 0$ : \[ (2(0)+3)I_1 = \sqrt{2} - 2(0+1)I_0 \] \[ 3I_1 = \sqrt{2} - 2(\sqrt{2} - 1) \] \[ 3I_1 = \sqrt{2} - 2\sqrt{2} + 2 \] \[ 3I_1 = 2 - \sqrt{2} \implies I_1 = \frac{2 - \sqrt{2}}{3} \]
    2. DĂ©duction de la valeur de $I_2$ :
      En appliquant la formule de récurrence pour $n = 1$ : \[ (2(1)+3)I_2 = \sqrt{2} - 2(1+1)I_1 \] \[ 5I_2 = \sqrt{2} - 4\left(\frac{2 - \sqrt{2}}{3}\right) \]
      En rĂ©duisant au mĂȘme dĂ©nominateur : \[ 5I_2 = \frac{3\sqrt{2} - 8 + 4\sqrt{2}}{3} \] \[ 5I_2 = \frac{7\sqrt{2} - 8}{3} \implies I_2 = \frac{7\sqrt{2} - 8}{15} \]