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- Calcul de $f(x)$ en fonction de $x$ :
Pour tout $x \in \mathbb{R}$, on a: \[f(x) = \int_x^{2x} \frac{t}{\sqrt{1+t^2}} \,dt\]
On remarque que l'intégrande s'écrit sous la forme $~\frac{u'(t)}{2\sqrt{u(t)}}~$ en posant $~u(t) = 1+t^2$.
La primitive de cette fonction est de la forme $~\sqrt{u(t)}$, ce qui donne un calcul direct : \[ f(x) = \left[ \sqrt{1+t^2} \right]_x^{2x} \] \[ f(x) = \sqrt{1+(2x)^2} - \sqrt{1+x^2} \] \[ f(x) = \sqrt{1+4x^2} - \sqrt{1+x^2} \]
- Calcul de $f(x)$ en fonction de $x$ :
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- DĂ©termination de la limite en $+\infty$ :
Le passage à la limite donne une forme indéterminée du type "$+\infty - \infty$".
Pour lever l'indétermination, factorisons l'expression par $x^2$ sous les radicaux. Puisque l'on cherche la limite en $+\infty$, on peut supposer $x > 0$, et donc $\sqrt{x^2} = x$ : \[ f(x) = \sqrt{x^2\left(\frac{1}{x^2}+4\right)} - \sqrt{x^2\left(\frac{1}{x^2}+1\right)} \] \[ f(x) = x\sqrt{\frac{1}{x^2}+4} - x\sqrt{\frac{1}{x^2}+1} \] \[ f(x) = x \left( \sqrt{\frac{1}{x^2}+4} - \sqrt{\frac{1}{x^2}+1} \right) \]
On sait que $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{1}{x^2} = 0$. On a donc pour le facteur de droite : \[ \lim\limits_{x \to +\infty} \left( \sqrt{\frac{1}{x^2}+4} - \sqrt{\frac{1}{x^2}+1} \right) = \sqrt{4} - \sqrt{1} = 2 - 1 = 1 \]
Par conséquent : \[ \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \]
- DĂ©termination de la limite en $+\infty$ :