1. Calcul de l'intégrale $K$ :
      On souhaite calculer $K = \int_0^\pi e^x \cos(2x) \,dx$.
      Par intégrations par parties successives : \[ K = \int_0^\pi (e^x)' \cos(2x) \,dx \] \[ K = \left[ e^x \cos(2x) \right]_0^\pi - \int_0^\pi e^x (-2\sin(2x)) \,dx \] \[ K = (e^\pi \cos(2\pi) - e^0 \cos(0)) + 2 \int_0^\pi (e^x)' \sin(2x) \,dx \] \[ K = e^\pi - 1 + 2 \left( \left[ e^x \sin(2x) \right]_0^\pi - \int_0^\pi e^x (2\cos(2x)) \,dx \right) \] \[ K = e^\pi - 1 + 2 \left( (e^\pi \sin(2\pi) - e^0 \sin(0)) - 2 \int_0^\pi e^x \cos(2x) \,dx \right) \] \[ K = e^\pi - 1 + 2(0 - 2K) \] \[ K = e^\pi - 1 - 4K \]
      En isolant $K$, on obtient : \[ 5K = e^\pi - 1 \] Soit: \[K = \frac{e^\pi - 1}{5} \]
    1. Calcul de $I+J$ : \[ I+J = \int_0^\pi e^x \cos^2(x) \,dx + \int_0^\pi e^x \sin^2(x) \,dx \] \[ I+J = \int_0^\pi e^x (\cos^2(x) + \sin^2(x)) \,dx \]
      Puisque $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$ : \[ I+J = \int_0^\pi e^x \cdot 1 \,dx = \left[ e^x \right]_0^\pi \] Soit: \[I+J=e^\pi - 1 \]
    2. Calcul de $I-J$ : \[ I-J = \int_0^\pi e^x \cos^2(x) \,dx - \int_0^\pi e^x \sin^2(x) \,dx \] \[ I-J = \int_0^\pi e^x (\cos^2(x) - \sin^2(x)) \,dx \]
      En utilisant la formule de trigonométrie $\cos^2(x) - \sin^2(x) = \cos(2x)$ : \[ I-J = \int_0^\pi e^x \cos(2x) \,dx = K \] Soit: \[ I-J = \frac{e^\pi - 1}{5} \]
    3. DĂ©duction des valeurs de $I$ et $J$ :
      En additionnant les résultats de $(I+J)$ et $(I-J)$, on isole $I$ : \[ 2I = (I+J) + (I-J) = (e^\pi - 1) + \frac{e^\pi - 1}{5} \] \[ 2I = \frac{5(e^\pi - 1) + e^\pi - 1}{5} = \frac{6(e^\pi - 1)}{5} \] On déduit: \[ I = \frac{3(e^\pi - 1)}{5} \]
      En soustrayant les résultats de $(I+J)$ et $(I-J)$, on isole $J$ : \[ 2J = (I+J) - (I-J) = (e^\pi - 1) - \frac{e^\pi - 1}{5} \] \[ 2J = \frac{5(e^\pi - 1) - (e^\pi - 1)}{5} = \frac{4(e^\pi - 1)}{5} \] Soit: \[ J = \frac{2(e^\pi - 1)}{5} \]