Calcul d'intégrales par parties
  1. Première partie : Calcul de $I_1$ et $I_2$
    1. Calcul de $I_1$ : \[ I_1 = \int_0^1 x^2 e^x \,dx \]
      Par intégrations par parties successives : \[ I_1 = \int_0^1 x^2 (e^x)' \,dx \] \[ I_1 = \left[ x^2 e^x \right]_0^1 - \int_0^1 2x e^x \,dx \] \[ I_1 = e - 2 \int_0^1 x (e^x)' \,dx \] \[ I_1 = e - 2 \left( \left[ x e^x \right]_0^1 - \int_0^1 1 \cdot e^x \,dx \right) \] \[ I_1 = e - 2 \left( e - \left[ e^x \right]_0^1 \right) \] \[ I_1 = e - 2 \left( e - (e - 1) \right) \] \[ I_1 = e - 2 \]
    2. Calcul de $I_2$ : \[ I_2 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (x^2+4x)\sin(2x) \,dx \]
      Par intégrations par parties successives : \[ I_2 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (x^2+4x) \left(-\frac{1}{2}\cos(2x)\right)' \,dx \] \[ I_2 = \left[ -\frac{1}{2}(x^2+4x)\cos(2x) \right]_0^{\frac{\pi}{2}} - \int_0^{\frac{\pi}{2}} (2x+4) \left(-\frac{1}{2}\cos(2x)\right) \,dx \] \[ I_2 = -\frac{1}{2} \left( \left(\frac{\pi^2}{4}+2\pi\right)(-1) - 0 \right) + \int_0^{\frac{\pi}{2}} (x+2)\cos(2x) \,dx \] \[ I_2 = \frac{\pi^2}{8} + \pi + \int_0^{\frac{\pi}{2}} (x+2) \left(\frac{1}{2}\sin(2x)\right)' \,dx \] \[ I_2 = \frac{\pi^2}{8} + \pi + \left[ \frac{1}{2}(x+2)\sin(2x) \right]_0^{\frac{\pi}{2}} - \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2}\sin(2x) \,dx \] \[ I_2 = \frac{\pi^2}{8} + \pi + 0 - \left[ -\frac{1}{4}\cos(2x) \right]_0^{\frac{\pi}{2}} \] \[ I_2 = \frac{\pi^2}{8} + \pi + \frac{1}{4} \left( -1 - 1 \right) = \frac{\pi^2}{8} + \pi - \frac{1}{2} \]
  2. Deuxième partie : Calcul de $I_3$ et $I_4$
    1. Calcul de $I_3$ : \[ I_3 = \int_1^e x \ln^2(x) \,dx \]
      Par intégrations par parties successives : \[ I_3 = \int_1^e \left(\frac{x^2}{2}\right)' \ln^2(x) \,dx \] \[ I_3 = \left[ \frac{x^2}{2}\ln^2(x) \right]_1^e - \int_1^e \frac{x^2}{2} \cdot 2\frac{\ln(x)}{x} \,dx \] \[ I_3 = \left( \frac{e^2}{2} - 0 \right) - \int_1^e x \ln(x) \,dx \] \[ I_3 = \frac{e^2}{2} - \int_1^e \left(\frac{x^2}{2}\right)' \ln(x) \,dx \] \[ I_3 = \frac{e^2}{2} - \left( \left[ \frac{x^2}{2}\ln(x) \right]_1^e - \int_1^e \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \,dx \right) \] \[ I_3 = \frac{e^2}{2} - \left( \frac{e^2}{2} - \int_1^e \frac{x}{2} \,dx \right) \] \[ I_3 = \int_1^e \frac{x}{2} \,dx = \left[ \frac{x^2}{4} \right]_1^e = \frac{e^2 - 1}{4} \]
    2. Calcul de $I_4$ : \[ I_4 = \int_0^\pi e^x \sin(x) \,dx \]
      Par intégrations par parties successives : \[ I_4 = \int_0^\pi (e^x)' \sin(x) \,dx \] \[ I_4 = \left[ e^x \sin(x) \right]_0^\pi - \int_0^\pi e^x \cos(x) \,dx \] \[ I_4 = 0 - \int_0^\pi (e^x)' \cos(x) \,dx \] \[ I_4 = - \left( \left[ e^x \cos(x) \right]_0^\pi - \int_0^\pi e^x (-\sin(x)) \,dx \right) \] \[ I_4 = - \left( e^\pi(-1) - 1 + \int_0^\pi e^x \sin(x) \,dx \right) \] \[ I_4 = e^\pi + 1 - I_4 \]
      En isolant $I_4$, on obtient : \[ 2I_4 = e^\pi + 1 \implies I_4 = \frac{e^\pi + 1}{2} \]
    3. Calcul alternatif de l'intégrale $I_4$
      • Posons: \[y(x) = e^x \sin(x)\qquad \text{et}\qquad z(x) = e^x \cos(x)\]
        En dérivant ces deux fonctions, on obtient le système suivant : \[ y' = e^x \sin(x) + e^x \cos(x) \implies y' = y + z \] \[ z' = e^x \cos(x) - e^x \sin(x) \implies z' = z - y \]
        • En soustrayant la deuxième équation à la première, on isole $y$ : \[ y' - z' = (y + z) - (z - y) \] \[ y' - z' = 2y \] \[ y = \frac{1}{2}(y' - z') \]
      • Calcul de l'intégrale :
        On peut désormais intégrer directement $y$ en utilisant sa nouvelle expression : \[ I_4 = \int_0^\pi y \,dx = \int_0^\pi \frac{1}{2}(y' - z') \,dx \] \[ I_4 = \frac{1}{2} \left[ y - z \right]_0^\pi \]
        En remplaçant $y$ et $z$ par leurs expressions initiales : \[ I_4 = \frac{1}{2} \left[ e^x \sin(x) - e^x \cos(x) \right]_0^\pi \] \[ I_4 = \frac{1}{2} \left( (e^\pi \sin(\pi) - e^\pi \cos(\pi)) - (e^0 \sin(0) - e^0 \cos(0)) \right) \] \[ I_4 = \frac{1}{2} \left( (0 - e^\pi(-1)) - (0 - 1(1)) \right) \] \[ I_4 = \frac{1}{2} (e^\pi + 1) = \frac{e^\pi + 1}{2} \]
  3. Troisième partie : Calcul de $I_5$ et $I_6$
    1. Calcul de $I_5$ : \[ I_5 = \int_0^1 3x^2 \text{Arctan}(x) \,dx \]
      Par intégration par parties : \[ I_5 = \int_0^1 (x^3)' \text{Arctan}(x) \,dx \] \[ I_5 = \left[ x^3 \text{Arctan}(x) \right]_0^1 - \int_0^1 x^3 \cdot \frac{1}{1+x^2} \,dx \] \[ I_5 = \left( 1 \cdot \frac{\pi}{4} - 0 \right) - \int_0^1 \frac{x(x^2+1)-x}{1+x^2} \,dx \] \[ I_5 = \frac{\pi}{4} - \int_0^1 \left( x - \frac{x}{1+x^2} \right) \,dx \] \[ I_5 = \frac{\pi}{4} - \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) \right]_0^1 \] \[ I_5 = \frac{\pi}{4} - \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\ln(2) - 0 \right) \] \[ I_5 = \frac{\pi - 2 + 2\ln(2)}{4} \]
    2. Calcul de $I_6$ : \[ I_6 = \int_0^1 x^2 \sqrt[3]{x+3} \,dx = \int_0^1 x^2 (x+3)^{\frac{1}{3}} \,dx \]
      Par intégrations par parties successives : \[ I_6 = \int_0^1 x^2 \left(\frac{3}{4}(x+3)^{\frac{4}{3}}\right)' \,dx \] \[ I_6 = \left[ \frac{3}{4}x^2(x+3)^{\frac{4}{3}} \right]_0^1 - \int_0^1 2x \cdot \frac{3}{4}(x+3)^{\frac{4}{3}} \,dx \] \[ I_6 = 3\sqrt[3]{4} - \frac{3}{2} \int_0^1 x \left(\frac{3}{7}(x+3)^{\frac{7}{3}}\right)' \,dx \] \[ I_6 = 3\sqrt[3]{4} - \frac{3}{2} \left( \left[ \frac{3}{7}x(x+3)^{\frac{7}{3}} \right]_0^1 - \int_0^1 \frac{3}{7}(x+3)^{\frac{7}{3}} \,dx \right) \] \[ I_6 = 3\sqrt[3]{4} - \frac{3}{2} \left( \frac{48}{7}\sqrt[3]{4} - \left[ \frac{9}{70}(x+3)^{\frac{10}{3}} \right]_0^1 \right) \] \[ I_6 = 3\sqrt[3]{4} - \frac{72}{7}\sqrt[3]{4} + \frac{27}{140} \left( 4^{\frac{10}{3}} - 3^{\frac{10}{3}} \right) \]
      En remarquant que $4^{\frac{10}{3}} = 64\sqrt[3]{4}$ et $3^{\frac{10}{3}} = 27\sqrt[3]{3}$ : \[ I_6 = 3\sqrt[3]{4} - \frac{72}{7}\sqrt[3]{4} + \frac{27}{140} \left( 64\sqrt[3]{4} - 27\sqrt[3]{3} \right) \] \[ I_6 = \frac{420}{140}\sqrt[3]{4} - \frac{1440}{140}\sqrt[3]{4} + \frac{1728}{140}\sqrt[3]{4} - \frac{729}{140}\sqrt[3]{3} \] \[ I_6 = \frac{708\sqrt[3]{4} - 729\sqrt[3]{3}}{140} \]
Calcul de $I_2$ via les équations différentielles
    1. Recherche de la forme de la primitive :
      On cherche une primitive $Y(x)$ de la fonction $y(x) = (x^2+4x)\sin(2x)$.
      La théorie des équations différentielles linéaires nous indique que la primitive sera de la forme : \[ Y(x) = A(x)\cos(2x) + B(x)\sin(2x) \] où $A(x)$ et $B(x)$ sont des polynômes de même degré que $x^2+4x$ (donc de degré 2).
    2. Dérivation et mise en équation :
      En dérivant $Y(x)$, on obtient : \[ Y'(x) = (A'(x)\cos(2x) - 2A(x)\sin(2x)) + (B'(x)\sin(2x) + 2B(x)\cos(2x)) \] \[ Y'(x) = (A'(x) + 2B(x))\cos(2x) + (B'(x) - 2A(x))\sin(2x) \]
      Par identification avec $y(x) = 0\cos(2x) + (x^2+4x)\sin(2x)$, on obtient le système : \[ \begin{cases} A'(x) + 2B(x) = 0 \implies B(x) = -\frac{1}{2}A'(x) \\ B'(x) - 2A(x) = x^2+4x \end{cases} \]
    3. Lien avec l'équation différentielle du second ordre :
      En injectant l'expression de $B(x)$ dans la deuxième équation, on obtient : \[ \left(-\frac{1}{2}A'(x)\right)' - 2A(x) = x^2+4x \] \[ -\frac{1}{2}A''(x) - 2A(x) = x^2+4x \] \[ A''(x) + 4A(x) = -2(x^2+4x) \]
    4. Résolution algébrique :
      Posons $A(x) = ax^2 + bx + c$. On a $A''(x) = 2a$.
      En remplaçant dans l'équation différentielle : \[ 2a + 4(ax^2 + bx + c) = -2x^2 - 8x \] \[ 4ax^2 + 4bx + (2a + 4c) = -2x^2 - 8x \]
      Par identification des coefficients : \[ \begin{cases} 4a = -2 \implies a = -\frac{1}{2} \\ 4b = -8 \implies b = -2 \\ 2a + 4c = 0 \implies -1 + 4c = 0 \implies c = \frac{1}{4} \end{cases} \]
      On a donc $A(x) = -\frac{1}{2}x^2 - 2x + \frac{1}{4}$.
    5. Déduction de $B(x)$ et de la primitive :
      Puisque $B(x) = -\frac{1}{2}A'(x)$ et que $A'(x) = -x - 2$ : \[ B(x) = -\frac{1}{2}(-x - 2) = \frac{1}{2}x + 1 \]
      La primitive cherchée est donc : \[ Y(x) = \left(-\frac{1}{2}x^2 - 2x + \frac{1}{4}\right)\cos(2x) + \left(\frac{1}{2}x + 1\right)\sin(2x) \]
    6. Évaluation de l'intégrale : \[ I_2 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (x^2+4x)\sin(2x) \,dx = \left[ Y(x) \right]_0^{\frac{\pi}{2}} \] \[ I_2 = Y\left(\frac{\pi}{2}\right) - Y(0) \] \[ I_2 = \left( A\left(\frac{\pi}{2}\right)\cos(\pi) + 0 \right) - \left( A(0)\cos(0) + 0 \right) \] \[ I_2 = -A\left(\frac{\pi}{2}\right) - A(0) \] \[ I_2 = -\left(-\frac{1}{2}\left(\frac{\pi^2}{4}\right) - 2\left(\frac{\pi}{2}\right) + \frac{1}{4}\right) - \frac{1}{4} \] \[ I_2 = \frac{\pi^2}{8} + \pi - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = \frac{\pi^2}{8} + \pi - \frac{1}{2} \]
Calcul de l'intégrale $I_2$ par système différentiel en cascade
    1. Mise en place du système principal :
      Posons: \[y(x) = (x^2+4x)\sin(2x)\qquad \text{et} \qquad z(x) = (x^2+4x)\cos(2x)\]
      En dérivant ces fonctions , on obtient : \[ y' = (2x+4)\sin(2x) + 2(x^2+4x)\cos(2x) = 2u + 2z \] \[ z' = (2x+4)\cos(2x) - 2(x^2+4x)\sin(2x) = 2v - 2y \] Avec: \[u(x) = (x+2)\sin(2x)\qquad ;\qquad v(x) = (x+2)\cos(2x)\]
    2. Mise en place du sous-système :
      Dérivons à présent $u$ et $v$ : \[ u' = \sin(2x) + 2(x+2)\cos(2x) = \sin(2x) + 2v \] \[ v' = \cos(2x) - 2(x+2)\sin(2x) = \cos(2x) - 2u \]
    3. Déduction des primitives par remontée :
      De l'équation de $u'$, on isole $v$ pour déduire directement sa primitive : \[ 2v = u' - \sin(2x) \implies \int v \,dx = \frac{1}{2}u - \int \frac{1}{2}\sin(2x) \,dx = \frac{1}{2}u + \frac{1}{4}\cos(2x) \]
      De l'équation de $z'$, on isole $y$ pour obtenir la primitive cherchée : \[ 2y = 2v - z' \implies \int y \,dx = \int v \,dx - \frac{1}{2}z \]
    4. Reconstitution de la primitive globale :
      En injectant $\int v \,dx$ dans la ligne précédente, on obtient la primitive $Y(x)$ de $y(x)$ : \[ Y(x) = \frac{1}{2}u(x) + \frac{1}{4}\cos(2x) - \frac{1}{2}z(x) \]
      En remplaçant par les fonctions initiales, cela donne : \[ Y(x) = \frac{1}{2}(x+2)\sin(2x) + \frac{1}{4}\cos(2x) - \frac{1}{2}(x^2+4x)\cos(2x) \] \[ Y(x) = \left(-\frac{1}{2}x^2 - 2x + \frac{1}{4}\right)\cos(2x) + \left(\frac{1}{2}x + 1\right)\sin(2x) \]
      On retrouve ainsi, par un jeu d'écriture fluide, la primitive exacte issue de la méthode de l'équation différentielle du second ordre.
    5. Évaluation finale : \[ I_2 = Y\left(\frac{\pi}{2}\right) - Y(0) \] \[ I_2 = \left( \left(-\frac{1}{2}\frac{\pi^2}{4} - 2\frac{\pi}{2} + \frac{1}{4}\right)(-1) + 0 \right) - \left( \left(0 - 0 + \frac{1}{4}\right)(1) + 0 \right) \] \[ I_2 = \left( \frac{\pi^2}{8} + \pi - \frac{1}{4} \right) - \frac{1}{4} = \frac{\pi^2}{8} + \pi - \frac{1}{2} \]