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Vérification de l'équation différentielle
- La fonction $ f $ définie par $ f(x) = e^{-x} \sin x $ est indéfiniment dérivable sur $ \mathbb{R} $. Exprimons d'abord sa dérivée premiÚre : \[ f'(x) = -e^{-x} \sin x + e^{-x} \cos x = -f(x) + e^{-x} \cos x \]
- On en déduit une premiÚre relation simple : \[ f'(x) + f(x) = e^{-x} \cos x \quad \text{(1)} \]
- Dérivons cette égalité membre à membre : \[ f''(x) + f'(x) = -e^{-x} \cos x - e^{-x} \sin x \]
- En reconnaissant Ă nouveau l'expression de $ f(x) = e^{-x} \sin x $, on obtient une seconde relation : \[ f''(x) + f'(x) + f(x) = -e^{-x} \cos x \quad \text{(2)} \]
- En sommant membre Ă membre les relations (1) et (2), le terme en cosinus s'annule naturellement : \[ (f'(x) + f(x)) + (f''(x) + f'(x) + f(x)) = e^{-x} \cos x - e^{-x} \cos x \]
- On aboutit instantanément à l'équation demandée, valable pour tout $ x \in \mathbb{R} $ : \[ f''(x) + 2f'(x) + 2f(x) = 0 \]
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Calcul de la suite d'intégrales $ a_n $
- L'équation différentielle précédente permet d'exprimer $ f(x) $ sous la forme d'une dérivée exacte : \[ 2f(x) = -f''(x) - 2f'(x) \implies f(x) = \left( -\frac{1}{2}f'(x) - f(x) \right)' \]
- On calcule l'intégrale $ a_n $ en utilisant directement cette primitive : \[ \begin{align*} a_n &= \int_{n\pi}^{(n+1)\pi} f(x) \,dx \\ &= \left[ -\frac{1}{2}f'(x) - f(x) \right]_{n\pi}^{(n+1)\pi} \end{align*} \]
- Puisque $ f(k\pi) = e^{-k\pi}\sin(k\pi) = 0 $ pour tout entier $ k $, l'Ă©valuation aux bornes se simplifie : \[ a_n = -\frac{1}{2}f'((n+1)\pi) + \frac{1}{2}f'(n\pi) \]
- D'aprĂšs la relation (1), on sait que $ f'(x) = e^{-x} \cos x - f(x) $. Ainsi, pour $ x = k\pi $ : \[ f'(k\pi) = e^{-k\pi} \cos(k\pi) - 0 = (-1)^k e^{-k\pi} \]
- On remplace dans l'expression de $ a_n $ : \[ \begin{align*} a_n &= -\frac{1}{2}(-1)^{n+1} e^{-(n+1)\pi} + \frac{1}{2}(-1)^n e^{-n\pi} \\ &= \frac{1}{2}(-1)^n e^{-(n+1)\pi} + \frac{1}{2}(-1)^n e^{-n\pi} \quad \text{car } (-1)^{n+1} = -(-1)^n \end{align*} \]
- En factorisant par le terme commun, on obtient le résultat final : \[ a_n = \frac{(-1)^n}{2} e^{-n\pi} \left( e^{-\pi} + 1 \right) \]