Solution de l'exercice

1. Calcul de la dérivée $ f'(x) $

   • La fonction $ f $ est dérivable sur $ I = \left[0; \frac{\pi}{4}\right] $ en tant que quotient de fonctions dérivables, dont le dénominateur ne s'annule pas sur cet intervalle.
   • On pose $ u(x) = \sin x $ et $ v(x) = \cos^3 x $. Leurs dérivées sont : \[ u'(x) = \cos x \quad \text{et} \quad v'(x) = 3\cos^2 x(-\sin x) = -3\sin x\cos^2 x \]
   • On applique la formule de la dérivée d'un quotient $ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $ : \[ \begin{align*} f'(x) &= \frac{\cos x(\cos^3 x) - \sin x(-3\sin x\cos^2 x)}{(\cos^3 x)^2} \\ &= \frac{\cos^4 x + 3\sin^2 x\cos^2 x}{\cos^6 x} \end{align*} \]
   • On factorise le numérateur par $ \cos^2 x $ et on simplifie la fraction : \[ \begin{align*} f'(x) &= \frac{\cos^2 x(\cos^2 x + 3\sin^2 x)}{\cos^6 x} \\ &= \frac{\cos^2 x + 3\sin^2 x}{\cos^4 x} \end{align*} \]
   • En utilisant l'identité trigonométrique fondamentale $ \sin^2 x = 1 - \cos^2 x $, on obtient : \[ \begin{align*} f'(x) &= \frac{\cos^2 x + 3(1 - \cos^2 x)}{\cos^4 x} \\ &= \frac{\cos^2 x + 3 - 3\cos^2 x}{\cos^4 x} \\ &= \frac{3 - 2\cos^2 x}{\cos^4 x}\\ &= \frac{3}{\cos^4 x} - \frac{2\cos^2 x}{\cos^4 x} \end{align*} \]
   • Soit: \[ f'(x) = \frac{3}{\cos^4 x} - \frac{2}{\cos^2 x} \]

2. Déduction de la valeur de $ K $

   • À partir de l'égalité $ f'(x) = \frac{3}{\cos^4 x} - \frac{2}{\cos^2 x} $, on isole le terme correspondant à l'intégrande de $ K $ : \[ \frac{3}{\cos^4 x} = f'(x) + \frac{2}{\cos^2 x} \]
   • En remarquant que $ x \longmapsto \frac{1}{\cos^2 x} $ est la dérivée de $ x \longmapsto \tan x $, on réécrit l'égalité sous la forme d'une seule dérivée : \[ \frac{3}{\cos^4 x} = f'(x) + (2\tan x)' = (f(x) + 2\tan x)' \]
   • En intégrant cette relation sur $ \left[0; \frac{\pi}{4}\right] $, on obtient directement $ 3K $ : \[ 3K = \left[ f(x) + 2\tan x \right]_0^{\frac{\pi}{4}} \]
   • On évalue l'expression aux bornes : \[ 3K = \left( f\left(\frac{\pi}{4}\right) + 2\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) \right) - \left( f(0) + 2\tan(0) \right) \]
   • Avec $ f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^3} = 2 $, $ \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 $, et $ f(0) = \tan(0) = 0 $, on trouve : \[ 3K = (2 + 2) - 0 = 4 \]
   • On conclut finalement : \[ K = \frac{4}{3} \]