Calcul de $ u_0 $

• Pour $ n = 0 $, on remplace $ n $ par 0 dans l'expression de l'intégrale : \[ u_0 = \int_0^1 \frac{2^0 t}{1+0 \cdot 2^0 t^2} \,dt \]
• L'expression se simplifie de la manière suivante : \[ u_0 = \int_0^1 \frac{1 \cdot t}{1+0} \,dt = \int_0^1 t \,dt \]
• On intègre la fonction $ t \longmapsto t $ : \[ u_0 = \left[ \frac{t^2}{2} \right]_0^1 = \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{1}{2} \]

Calcul de $ u_n $ en fonction de $ n $

• Pour tout $ n \ge 1 $, on remarque que le numérateur est proportionnel à la dérivée du dénominateur.
• Posons $ v(t) = 1 + n2^nt^2 $. Sa dérivée par rapport à $ t $ est $ v'(t) = 2n2^nt $.
• On fait apparaître cette dérivée au numérateur en multipliant et en divisant par $ 2n $ : \[ \begin{align*} u_n &= \int_0^1 \frac{2^n t}{1+n2^nt^2} \,dt \\ &= \frac{1}{2n} \int_0^1 \frac{2n2^n t}{1+n2^nt^2} \,dt \\ &= \frac{1}{2n} \int_0^1 \frac{v'(t)}{v(t)} \,dt \end{align*} \]
• Une primitive de la fonction $ \frac{v'}{v} $ est $ \ln|v| $. Puisque $ 1+n2^nt^2 > 0 $ sur $ [0, 1] $, on en déduit : \[ \begin{align*} u_n &= \frac{1}{2n} \left[ \ln(1+n2^nt^2) \right]_0^1 \\ &= \frac{1}{2n} \left( \ln(1+n2^n) - \ln(1) \right) \\ &= \frac{\ln(1+n2^n)}{2n} \end{align*} \]

Limite de la suite $ (u_n) $

• Pour lever l'indétermination lors du calcul de la limite en $ +\infty $, on factorise par le terme dominant $ n2^n $ à l'intérieur du logarithme : \[ \begin{align*} u_n &= \frac{1}{2n} \ln\left( n2^n \left( \frac{1}{n2^n} + 1 \right) \right) \\ &= \frac{1}{2n} \left( \ln(n) + \ln(2^n) + \ln\left(1 + \frac{1}{n2^n}\right) \right) \\ &= \frac{1}{2n} \left( \ln(n) + n\ln(2) + \ln\left(1 + \frac{1}{n2^n}\right) \right) \end{align*} \]
• On sépare l'expression en trois fractions distinctes : \[ u_n = \frac{\ln(n)}{2n} + \frac{n\ln(2)}{2n} + \frac{\ln\left(1 + \frac{1}{n2^n}\right)}{2n}\] Soit \[u_n= \frac{\ln(n)}{2n} + \frac{\ln(2)}{2} + \frac{\ln\left(1 + \frac{1}{n2^n}\right)}{2n} \]
• On étudie la limite de chaque terme lorsque $ n \to +\infty $ :
  • Par croissances comparées, on a $ \lim_{n \to +\infty} \frac{\ln(n)}{n} = 0 $.
  • $ \lim_{n \to +\infty} \ln\left(1 + \frac{1}{n2^n}\right) = \ln(1) = 0 $.
  • Le troisième terme tend donc vers $ 0 $.
• Par somme des limites, on conclut : \[ \lim_{n \to +\infty} u_n = 0 + \frac{\ln(2)}{2} + 0 = \frac{\ln(2)}{2} \]