Décomposition de la fraction rationnelle

• On remarque d'abord que l'on peut décomposer le dénominateur :
  \[ \frac{1}{(1+t^2)(3+t^2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1+t^2} - \frac{1}{3+t^2} \right) \]
• On multiplie cette expression par $(1+t)^2 = 1+t^2+2t$ : \[ \begin{align*} \frac{(1+t)^2}{(1+t^2)(3+t^2)} &= \frac{1+t^2+2t}{2} \left( \frac{1}{1+t^2} - \frac{1}{3+t^2} \right) \\ &= \frac{1}{2} \left( \frac{1+t^2+2t}{1+t^2} - \frac{1+t^2+2t}{3+t^2} \right) \end{align*} \]
• On sépare les termes à l'intérieur des parenthèses : \[ \begin{align*} \frac{(1+t)^2}{(1+t^2)(3+t^2)} &= \frac{1}{2} \left( \left(1 + \frac{2t}{1+t^2}\right) - \frac{3+t^2 - 2 + 2t}{3+t^2} \right) \\ &= \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{2t}{1+t^2} - \left(1 + \frac{2t-2}{3+t^2}\right) \right) \\ &= \frac{1}{2} \left( \frac{2t}{1+t^2} - \frac{2t}{3+t^2} + \frac{2}{3+t^2} \right) \end{align*} \]
• En simplifiant par 2, on obtient le résultat demandé : \[ \frac{(1+t)^2}{(1+t^2)(3+t^2)} = \frac{t}{1+t^2} - \frac{t}{3+t^2} + \frac{1}{3+t^2} \]

Calcul de l'intégrale paramétrée

• Pour calculer l'intégrale $\int_0^\alpha \frac{1}{3+t^2} \,dt$, on effectue le changement de variable $t = \sqrt{3}s$.
• L'élément différentiel est alors $dt = \sqrt{3} \,ds$.
• Les nouvelles bornes d'intégration : lorsque $t = 0$, $s = 0$ et lorsque $t = \alpha$, $s = \frac{\alpha}{\sqrt{3}}$.
• En remplaçant dans l'intégrale, on obtient : \[ \begin{align*} \int_0^\alpha \frac{1}{3+t^2} \,dt &= \int_0^{\frac{\alpha}{\sqrt{3}}} \frac{1}{3+(\sqrt{3}s)^2} \sqrt{3} \,ds \\ &= \int_0^{\frac{\alpha}{\sqrt{3}}} \frac{\sqrt{3}}{3+3s^2} \,ds \\ &= \frac{\sqrt{3}}{3} \int_0^{\frac{\alpha}{\sqrt{3}}} \frac{1}{1+s^2} \,ds \\ &= \frac{1}{\sqrt{3}} \left[ \arctan(s) \right]_0^{\frac{\alpha}{\sqrt{3}}} \end{align*} \]
• On conclut que : \[ \int_0^\alpha \frac{1}{3+t^2} \,dt = \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan\left(\frac{\alpha}{\sqrt{3}}\right) \]

1. Dérivabilité de $F$

   • La fonction $u \longmapsto \frac{1+\sin u}{2+\cos u}$ est définie et continue sur l'intervalle $[0, \pi]$ car le dénominateur $2+\cos u \ge 1 > 0$ ne s'annule jamais.
   • Par définition, $F$ est la primitive de cette fonction qui s'annule en 0.
   • $F$ est donc dérivable (et de classe $C^1$) sur $[0, \pi]$.

2. Expression de $F(x)$ à l'aide d'un changement de variable

   • Soit $x \in [0, \pi[$. On pose $t = \tan\left(\frac{u}{2}\right)$, ce qui donne $u = 2\arctan(t)$ et $du = \frac{2}{1+t^2} \,dt$.
   • On exprime le sinus et le cosinus en fonction de $t$ : $\sin u = \frac{2t}{1+t^2}$ et $\cos u = \frac{1-t^2}{1+t^2}$.
   • Les bornes : pour $u = 0$, $t = 0$ ; pour $u = x$, $t = \tan\left(\frac{x}{2}\right)$.
   • L'intégrande devient : \[ \begin{align*} \frac{1+\sin u}{2+\cos u} \,du &= \frac{1 + \frac{2t}{1+t^2}}{2 + \frac{1-t^2}{1+t^2}} \times \frac{2}{1+t^2} \,dt \\ &= \frac{\frac{1+t^2+2t}{1+t^2}}{\frac{2+2t^2+1-t^2}{1+t^2}} \times \frac{2}{1+t^2} \,dt \\ &= \frac{t^2+2t+1}{t^2+3} \times \frac{2}{1+t^2} \,dt \\ &= 2 \frac{(1+t)^2}{(1+t^2)(3+t^2)} \,dt \end{align*} \]
   • On obtient bien : \[ F(x) = 2 \int_0^{\tan\left(\frac{x}{2}\right)} \frac{(1+t)^2}{(1+t^2)(3+t^2)} \,dt \]

3. Calcul explicite de $F(x)$

   • En utilisant la question 1, on sépare l'intégrale : \[ F(x) = 2 \int_0^{\tan\left(\frac{x}{2}\right)} \left( \frac{t}{1+t^2} - \frac{t}{3+t^2} + \frac{1}{3+t^2} \right) \,dt \]
   • On intègre chaque terme (en utilisant la question 2 pour le dernier terme) : \[ F(x) = 2 \left[ \frac{1}{2}\ln(1+t^2) - \frac{1}{2}\ln(3+t^2) + \frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\left(\frac{t}{\sqrt{3}}\right) \right]_0^{\tan\left(\frac{x}{2}\right)} \]
   • En regroupant les logarithmes : \[ F(x) = \left[ \ln\left(\frac{1+t^2}{3+t^2}\right) + \frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\left(\frac{t}{\sqrt{3}}\right) \right]_0^{\tan\left(\frac{x}{2}\right)} \]
   • L'évaluation en $t=0$ donne $\ln\left(\frac{1}{3}\right) + 0 = -\ln 3$. Ainsi : \[ F(x) = \ln 3 + \frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\left(\frac{\tan\left(\frac{x}{2}\right)}{\sqrt{3}}\right) + \ln\left(\frac{1+\tan^2\left(\frac{x}{2}\right)}{3+\tan^2\left(\frac{x}{2}\right)}\right) \]

4. Calcul de l'intégrale sur $[0, \pi]$

   • Puisque $F$ est continue sur $[0, \pi]$, on peut calculer $F(\pi)$ par passage à la limite : $F(\pi) = \lim_{x \to \pi^-} F(x)$.
   • Lorsque $x \to \pi^-$, on a $X = \tan\left(\frac{x}{2}\right) \to +\infty$.
   • Limites des deux composantes : \[ \lim_{X \to +\infty} \arctan\left(\frac{X}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{2} \] \[ \lim_{X \to +\infty} \ln\left(\frac{1+X^2}{3+X^2}\right) = \ln(1) = 0 \]
   • Par conséquent : \[ F(\pi) = \ln 3 + \frac{2}{\sqrt{3}}\left(\frac{\pi}{2}\right) + 0 = \ln 3 + \frac{\pi}{\sqrt{3}} \]
   • Conclusion finale : \[ \int_0^\pi \frac{1+\sin u}{2+\cos u} \,du = \ln 3 + \frac{\pi}{\sqrt{3}} \]