Expression de $ f(x) $ pour $ x > 0 $

• La fonction $ t \longmapsto 1 + \ln t $ admet pour primitive la fonction $ t \longmapsto t \ln t $ sur $ \mathbb{R}^*_+ $.
• Pour $ x > 0 $, on calcule l'intégrale : \[ \begin{align*} f(x) &= \int_x^{x+1} (1+\ln t) \,dt \\ &= \left[ t \ln t \right]_x^{x+1} \\ &= (x+1)\ln(x+1) - x\ln x \end{align*} \]

1. Continuité de $ f $ en 0

   • À droite en 0 : \[ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \left( (1+x)\ln(1+x) - x\ln x \right) = 1 \times 0 - 0 = 0 = f(0) \]
   • À gauche en 0 : \[ \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x^2}e^{\frac{1}{x}} \] En posant $ X = \frac{1}{x} $, lorsque $ x \to 0^- $, $ X \to -\infty $. \[ \lim_{X \to -\infty} X^2 e^X = 0 = f(0) \]
   • Puisque $ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0) $, la fonction $ f $ est continue en 0.

2. Limites en $ -\infty $ et $ +\infty $

   • Remarque : L'énoncé suggère de montrer que la limite en $ -\infty $ est $ +\infty $, il s'agit d'une petite coquille classique. La limite réelle est $ 0 $, comme le montre le calcul suivant : \[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x^2}e^{\frac{1}{x}} = 0 \times e^0 = 0 \]
   • Limite en $ +\infty $ : \[ \begin{align*} \lim_{x \to +\infty} f(x) &= \lim_{x \to +\infty} \left( (x+1)\ln(x+1) - x\ln x \right) \\ &= \lim_{x \to +\infty} \left( x\ln\left(\frac{x+1}{x}\right) + \ln(x+1) \right) \\ &= \lim_{x \to +\infty} \left( x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right) + \ln(x+1) \right) \end{align*} \] En posant $ t = \frac{1}{x} $, lorsque $ x \to +\infty $, on a $ t \to 0^+ $. Le premier terme s'écrit alors :
     $ x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right) = \frac{\ln(1+t)}{t} $
     On sait que $ \lim_{t \to 0^+} \frac{\ln(1+t)}{t} = 1 $, donc $ \lim_{x \to +\infty} x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right) = 1 $.
     De plus, on a $ \lim_{x \to +\infty} \ln(x+1) = +\infty $.
     Par somme des limites, on obtient : \[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \]

1. Dérivabilité en 0 et interprétation géométrique

   • À gauche en 0 : \[ \lim_{x \to 0^-} \frac{f(x) - f(0)}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x^3}e^{\frac{1}{x}} = \lim_{X \to -\infty} X^3 e^X = 0 \] $ f $ est dérivable à gauche en 0 et $ f'_g(0) = 0 $.
   • À droite en 0 : \[ \lim_{x \to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x} = \lim_{x \to 0^+} \left( \frac{x+1}{x}\ln(1+x) - \ln x \right) = +\infty \] $ f $ n'est pas dérivable à droite en 0.
   • Interprétation : La courbe représentative de $ f $ admet à l'origine une demi-tangente horizontale à gauche, et une demi-tangente verticale dirigée vers le haut à droite. La fonction $ f $ n'est donc pas dérivable en 0.

2. Calcul de $ f'(x) $

   • Pour $ x > 0 $, $ f $ est dérivable sur $ \mathbb{R}^*_+ $ : \[ \begin{align*} f'(x) &= 1 \cdot \ln(1+x) + (1+x)\frac{1}{1+x} - \left( 1 \cdot \ln x + x \frac{1}{x} \right) \\ &= \ln(1+x) + 1 - \ln x - 1 \\ &= \ln\left(\frac{x+1}{x}\right) \end{align*} \]
   • Pour $ x < 0 $, en utilisant la formule de la dérivée de la composée pour la fonction exponentielle : \[ \begin{align*} f'(x) &= \frac{-2}{x^3}e^{\frac{1}{x}} + \frac{1}{x^2}\left(\frac{-1}{x^2}\right)e^{\frac{1}{x}} \\ &= \frac{-2x - 1}{x^4}e^{\frac{1}{x}} \end{align*} \]

3. Tableau de variations de $ f $

   • Pour $ x > 0 $, $ \frac{x+1}{x} > 1 \implies \ln\left(\frac{x+1}{x}\right) > 0 $. La fonction $ f $ est strictement croissante.
   • Pour $ x < 0 $, le dénominateur $ x^4 $ et l'exponentielle sont strictement positifs. Le signe de $ f'(x) $ est donc celui de $ -2x - 1 $. On a $ f'(x) = 0 \iff x = -\frac{1}{2} $.
   
   

Limite de la suite $ (u_n)_{n \ge 1} $

• Pour tout $ n \in \mathbb{N}^* $, on a : \[ \begin{align*} u_n &= \sum_{k=0}^{n-1} \frac{n}{(k-2n)^2} e^{\left(\frac{n}{k-2n}\right)} \\ &= \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{n} \frac{n^2}{(k-2n)^2} e^{\left(\frac{1}{\frac{k}{n}-2}\right)} \\ &= \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{\left(\frac{k}{n}-2\right)^2} e^{\left(\frac{1}{\frac{k}{n}-2}\right)} \\ &= \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(-2 + \frac{k}{n}\right) \end{align*} \]
• On reconnaît l'expression d'une somme de Riemann pour la fonction $ f $ sur l'intervalle $ [-2, -1] $.

Détail du passage à la limite

• En posant $ h(t) = f(-2+t) $, la suite $ (u_n) $ s'écrit sous la forme d'une somme de Riemann classique sur l'intervalle $ [0, 1] $ : \[ \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} h\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1 h(t) \,dt = \int_0^1 f(-2+t) \,dt \]
• On effectue ensuite le changement de variable affine $ x = -2 + t $ (ce qui implique $ ds = dt $).
• On détermine les nouvelles bornes d'intégration :
  • Pour $ t = 0 $, on a $ x = -2 $
  • Pour $ t = 1 $, on a $ x = -1 $
• L'intégrale devient alors : \[ \int_0^1 f(-2+t) \,dt = \int_{-2}^{-1} f(x) \,dx \]
\[ \begin{align*} \lim_{n \to +\infty} u_n &= \int_{-2}^{-1} f(x) \,dx \\ &= \int_{-2}^{-1} \frac{1}{x^2}e^{\frac{1}{x}} \,dx \\ &= \left[ -e^{\frac{1}{x}} \right]_{-2}^{-1} \\ &= -e^{-1} - \left(-e^{-\frac{1}{2}}\right) \\ &= e^{-\frac{1}{2}} - e^{-1} \end{align*} \]