1. Calcul de la première limite
    • Transformation de l'expression :
      Pour tout entier $ n \ge 1 $, on fait rentrer le facteur $ \frac{1}{n} $ à l'intérieur de la racine $ n $-ième en remarquant que $ \frac{1}{n} = \sqrt[n]{\frac{1}{n^n}} $ : \[ u_n = \sqrt[n]{\frac{1}{n^n} \prod_{k=1}^n (n+k)} = \sqrt[n]{\prod_{k=1}^n \frac{n+k}{n}} = \sqrt[n]{\prod_{k=1}^n \left(1+\frac{k}{n}\right)} \] Pour transformer le produit en somme, on passe au logarithme népérien : \[ \ln(u_n) = \ln\left( \left(\prod_{k=1}^n \left(1+\frac{k}{n}\right)\right)^{\frac{1}{n}} \right) = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \ln\left(1+\frac{k}{n}\right) \]
    • Identification de la fonction continue :
      On reconnaît pour $ \ln(u_n) $ l'expression d'une somme de Riemann associée à la fonction $ f $ définie par : \begin{align*} f : &[0, 1] \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto \ln(1+x)\\ \end{align*} $ f $ est continue sur l'intervalle $ [0, 1] $.
    • Calcul de la limite :
      La suite $ (\ln(u_n)) $ converge donc vers l'intégrale de $ f $ sur $ [0, 1] $. En effectuant le changement de variable affine $ s = 1+x $ (donc $ ds = dx $), les bornes d'intégration deviennent $ 1 $ et $ 2 $ : \[ \lim_{n \to +\infty} \ln(u_n) = \int_0^1 \ln(1+x) \, dx = \int_1^2 \ln(s) \, ds \] On utilise la primitive usuelle du logarithme népérien : \[ \lim_{n \to +\infty} \ln(u_n) = \left[ s\ln(s) - s \right]_1^2 = (2\ln(2) - 2) - (1\ln(1) - 1) = 2\ln(2) - 1 \] Par continuité de la fonction exponentielle, on en déduit la limite de $ u_n $ : \[ \lim_{n \to +\infty} u_n = e^{2\ln(2) - 1} = \frac{e^{\ln(4)}}{e} = \frac{4}{e} \]

  2. Calcul de la deuxième limite
    • Transformation de l'expression :
      Pour tout entier $ n \ge 1 $, on passe au logarithme népérien pour transformer le produit en somme en utilisant les propriétés des logarithmes : \[ \ln(u_n) = \frac{1}{n^2} \ln\left( \prod_{k=1}^n \left(1+\frac{k}{n}\right)^k \right) = \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^n k\ln\left(1+\frac{k}{n}\right) \] On réorganise les termes pour faire apparaître la forme d'une somme de Riemann, en factorisant par $ \frac{1}{n} $ : \[ \ln(u_n) = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{k}{n} \ln\left(1+\frac{k}{n}\right) \]
    • Identification de la fonction continue :
      On reconnaît la somme de Riemann associée à la fonction $ f $ définie par : \begin{align*} f : &[0, 1] \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto x\ln(1+x)\\ \end{align*} $ f $ est continue sur l'intervalle $ [0, 1] $.
    • Calcul de la limite :
      La limite de $ (\ln(u_n)) $ est l'intégrale de $ f $ sur $ [0, 1] $. On intègre par parties en posant $ u(x) = \ln(1+x) $ et $ v'(x) = x $, ce qui donne $ u'(x) = \frac{1}{1+x} $ et $ v(x) = \frac{x^2}{2} $ : \[ \lim_{n \to +\infty} \ln(u_n) = \int_0^1 x\ln(1+x) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2}\ln(1+x) \right]_0^1 - \frac{1}{2} \int_0^1 \frac{x^2}{1+x} \, dx \] On a $ \left[ \frac{x^2}{2}\ln(1+x) \right]_0^1 = \frac{\ln(2)}{2} $.
      Pour la seconde intégrale, on remarque que :
      \[\frac{x^2}{1+x} = \frac{x^2-1+1}{1+x} = x - 1 + \frac{1}{1+x} \] : \[ \int_0^1 \frac{x^2}{1+x} \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} - x + \ln(1+x) \right]_0^1 = \left(\frac{1}{2} - 1 + \ln(2)\right) - 0 = \ln(2) - \frac{1}{2} \] En remplaçant cette valeur dans l'expression principale : \[ \lim_{n \to +\infty} \ln(u_n) = \frac{\ln(2)}{2} - \frac{1}{2}\left( \ln(2) - \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{4} \] Par continuité de la fonction exponentielle, on conclut : \[ \lim_{n \to +\infty} u_n = e^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{e} \]