Correction de l'exercice
-
Calcul de la première limite
- Transformation de l'expression :
Pour tout entier $ n \ge 1 $, on factorise par $ n^3 $ à l'intérieur de la racine cubique au dénominateur : \[ u_n = \sum_{k=1}^n \frac{k^2}{n^2\sqrt[3]{n^3 \left(1 + \left(\frac{k}{n}\right)^3\right)}} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{\left(\frac{k}{n}\right)^2}{\sqrt[3]{1 + \left(\frac{k}{n}\right)^3}} \] - Identification de la fonction continue :
On reconnaît l'expression d'une somme de Riemann associée à la fonction $ f $ définie par : \begin{align*} f : &[0, 1] \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto \frac{x^2}{\sqrt[3]{1+x^3}}\\ \end{align*} $ f $ est continue sur l'intervalle $ [0, 1] $. - Calcul de la limite :
La suite $ (u_n) $ converge vers l'intégrale de $ f $ sur $ [0, 1] $.
En remarquant que l'expression fait intervenir la dérivée de la composée $ x \mapsto (1+x^3)^\alpha $, on trouve une primitive directe : \[ \lim_{n \to +\infty} u_n = \int_0^1 x^2(1+x^3)^{-1/3} \, dx = \left[ \frac{1}{2}(1+x^3)^{2/3} \right]_0^1 = \frac{\sqrt[3]{4} - 1}{2} \]
- Transformation de l'expression :
-
Calcul de la deuxième limite
- Transformation de l'expression :
Pour tout entier $ n \ge 1 $, on divise le numérateur et le dénominateur par $ n^2 $ (en factorisant par $ n $ au numérateur et par $ n^2 $ au dénominateur) : \[ u_n = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{n\left(1 + \frac{k}{n}\right)}{n^2\left(1 + \left(\frac{k}{n}\right)^2\right)} = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1 + \frac{k}{n}}{1 + \left(\frac{k}{n}\right)^2} \] - Identification de la fonction continue :
Il s'agit d'une somme de Riemann associée à la fonction $ f $ : \begin{align*} f : &[0, 1] \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto \frac{1+x}{1+x^2}\\ \end{align*} $ f $ est continue sur l'intervalle $ [0, 1] $. - Calcul de la limite :
La limite est donc l'intégrale de $ f $ sur $ [0, 1] $.
Par linéarité, on sépare l'intégrale en deux parties correspondantes aux primitives usuelles : \[ \lim_{n \to +\infty} u_n = \int_0^1 \frac{1}{1+x^2} \, dx + \frac{1}{2} \int_0^1 \frac{2x}{1+x^2} \, dx \] \[ \lim_{n \to +\infty} u_n = \left[ \arctan(x) + \frac{1}{2}\ln(1+x^2) \right]_0^1 = \frac{\pi}{4} + \frac{\ln(2)}{2} \]
- Transformation de l'expression :
-
Calcul de la troisième limite
- Transformation de l'expression :
En factorisant par $ n^2 $ dans la puissance au dénominateur : \[ u_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{k^3}{\sqrt{\left(n^2\left(1 + \left(\frac{k}{n}\right)^2\right)\right)^3}} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{k^3}{n^3 \left(1 + \left(\frac{k}{n}\right)^2\right)^{3/2}} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{\left(\frac{k}{n}\right)^3}{\left(1 + \left(\frac{k}{n}\right)^2\right)^{3/2}} \] - Identification de la fonction continue :
On identifie la somme de Riemann liée à la fonction $ f $ : \begin{align*} f : &[0, 1] \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto \frac{x^3}{(1+x^2)^{3/2}}\\ \end{align*} $ f $ est continue sur $ [0, 1] $. - Calcul de la limite :
On intègre $ f $ sur $ [0, 1] $.
Pour ce faire, on applique le changement de variable: \[t = 1+x^2 \implies dt = 2x \, dx \qquad \text{et} \qquad x^2 = t-1 \] Par la suite: \[ \lim_{n \to +\infty} u_n = \int_0^1 \frac{x^2}{(1+x^2)^{3/2}} x \, dx = \int_1^2 \frac{t-1}{t^{3/2}} \frac{dt}{2} \] On sépare la fraction pour primitiver : \[ \lim_{n \to +\infty} u_n = \frac{1}{2} \int_1^2 \left( t^{-1/2} - t^{-3/2} \right) \, dt = \frac{1}{2} \left[ 2t^{1/2} + 2t^{-1/2} \right]_1^2 \] Soit: \[\lim_{n \to +\infty} u_n = \left[ \sqrt{t} + \frac{1}{\sqrt{t}} \right]_1^2 = \frac{3\sqrt{2}}{2} - 2 \]
- Transformation de l'expression :
-
Calcul de la quatrième limite
- Transformation de l'expression :
En remarquant que $ n\sqrt{n} = n \cdot \sqrt{n} $ et en factorisant par $ n $ à l'intérieur de la racine : \[ u_n = \frac{1}{n\sqrt{n}} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{k}{\sqrt{n\left(1 + \frac{k}{n}\right)}} = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{\frac{k}{n}}{\sqrt{1 + \frac{k}{n}}} \] - Identification de la fonction continue :
La suite s'écrit comme une somme de Riemann pour la fonction $ f $ : \begin{align*} f : &[0, 1] \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto \frac{x}{\sqrt{1+x}}\\ \end{align*} $ f $ est continue sur l'intervalle $ [0, 1] $. - Calcul de la limite :
La limite est donnée par l'intégrale de $ f $ sur $ [0, 1] $.
On effectue le changement de variable: \[ t = \sqrt{1+x} \implies x = t^2-1 \qquad \text{et}\qquad dx = 2t \, dt \] \[ \lim_{n \to +\infty} u_n = \int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1+x}} \, dx = \int_1^{\sqrt{2}} \frac{t^2-1}{t} 2t \, dt = 2 \int_1^{\sqrt{2}} (t^2-1) \, dt \] On détermine une primitive de la fonction polynomiale obtenue : \[ \lim_{n \to +\infty} u_n = 2 \left[ \frac{t^3}{3} - t \right]_1^{\sqrt{2}} = 2 \left( \left(\frac{2\sqrt{2}}{3} - \sqrt{2}\right) - \left(\frac{1}{3} - 1\right) \right) \] Soit: \[\lim\limits_{n\to +\infty}= \frac{4 - 2\sqrt{2}}{3} \]
- Transformation de l'expression :