Étude de la suite d'intégrales $ I_p $

Soit $ p \in \mathbb{N}^* $. Calculons $ I_p $ à l'aide d'une intégration par parties.

1. Posons :

   \[ u(x) = (\ln(x)+1)^p \implies u'(x) = p(\ln(x)+1)^{p-1} \times \frac{1}{x} \] \[ v'(x) = x \implies v(x) = \frac{x^2}{2} \]

   Les fonctions $ u $ et $ v $ sont continûment dérivables sur $ [1; e] $. La formule d'intégration par parties donne :

   \[ I_p = \left[ \frac{x^2}{2}(\ln(x)+1)^p \right]_1^e - \int_1^e \frac{x^2}{2} \times \frac{p}{x}(\ln(x)+1)^{p-1} \, dx \]

   Calculons le terme entre crochets :

   \[ \left[ \frac{x^2}{2}(\ln(x)+1)^p \right]_1^e = \frac{e^2}{2}(\ln(e)+1)^p - \frac{1^2}{2}(\ln(1)+1)^p = \frac{e^2}{2}2^p - \frac{1}{2} \]

   Pour l'intégrale restante, on simplifie :

   \[ \int_1^e \frac{p}{2}x(\ln(x)+1)^{p-1} \, dx = \frac{p}{2} \int_1^e x(\ln(x)+1)^{p-1} \, dx = \frac{p}{2} I_{p-1} \]

   En regroupant, on obtient :

   \[ I_p = \frac{e^2}{2}2^p - \frac{1}{2} - \frac{p}{2}I_{p-1} \]

   En multipliant l'égalité par 2, on trouve la relation demandée :

   \[ 2I_p = e^2 2^p - 1 - pI_{p-1} \implies 2I_p = e^2 2^p - pI_{p-1} - 1 \]

2. Utilisons la relation de récurrence pour $ p=1 $ puis $ p=2 $.

   Pour $ p=1 $ :

   \[ 2I_1 = e^2 2^1 - 1I_0 - 1 = 2e^2 - I_0 - 1 \]

   Pour $ p=2 $ :

   \[ 2I_2 = e^2 2^2 - 2I_1 - 1 = 4e^2 - 2I_1 - 1 \]

   En substituant $ 2I_1 $ par son expression dans la deuxième équation :

   \[ 2I_2 = 4e^2 - (2e^2 - I_0 - 1) - 1 = 4e^2 - 2e^2 + I_0 + 1 - 1 = 2e^2 + I_0 \]

   En divisant par 2, on en déduit bien :

   \[ I_2 = e^2 + \frac{1}{2}I_0 \]

Calcul du volume du solide de révolution

Le volume $ V $ du solide engendré par la rotation de la courbe représentative de $ f $ autour de l'axe des abscisses sur l'intervalle $ [1; e] $ est calculé par la méthode des disques.

Comme l'illustre la figure, un élément de volume $ dV $ correspond à un disque de rayon $ R = f(x) $ et d'épaisseur $ dx $. On a donc :

Exprimons $ (f(x))^2 $ :

On remarque que l'intégrale correspond exactement à $ I_2 $ :

Pour obtenir la valeur numérique, calculons d'abord $ I_0 $ :

On utilise ensuite la relation trouvée précédemment pour $ I_2 $ :

Le volume final est donc :