1. Bijection de la fonction

    Considérons la fonction $ f: x \mapsto \cos(x) $ définie sur l'intervalle $ I = [2\pi; 3\pi] $.

    La fonction $ f $ est dérivable sur $ I $ et sa dérivée est $ f'(x) = -\sin(x) $.

    Pour tout $ x \in [2\pi; 3\pi] $, on peut poser $ X = x - 2\pi $ avec $ X \in [0; \pi] $. Or, on sait que sur $ [0; \pi] $, $ \sin(X) \geq 0 $. Par la périodicité de la fonction sinus, on en déduit que $ \sin(x) \geq 0 $ sur $ I $.

    Il en résulte que $ f'(x) \leq 0 $ sur $ [2\pi; 3\pi] $. La fonction $ f $ est donc continue et strictement décroissante sur cet intervalle.

    D'aprÚs le théorÚme de la bijection, $ f $ réalise une bijection de $ I $ sur l'intervalle image $ J = f(I) $.

    Calculons les bornes de $ J $ :

    \[ f(2\pi) = \cos(2\pi) = 1 \] \[ f(3\pi) = \cos(3\pi) = -1 \]

    Comme $ f $ est strictement décroissante, l'ordre des bornes est inversé, ce qui nous donne $ J = [-1; 1] $.

  2. Calcul du volume du solide de révolution

    Nous cherchons le volume $ V $ engendré par la rotation de la surface hachurée autour de l'axe des ordonnées. Utilisons la méthode des tubes cylindriques.


    Méthode des tubes cylindriques avec élément dS


    Analysons l'élément de surface $ dS $ situé à l'abscisse $ x \in [2\pi; 3\pi] $ :

    • Sa largeur est $ dx $.
    • Sa hauteur correspond Ă  la distance entre la courbe et l'axe des abscisses, soit $ |f(x)| = |\cos(x)| $.
    • L'aire de cet Ă©lĂ©ment est donc $ dS = |\cos(x)| \, dx $.

    Lors de la rotation autour de l'axe des ordonnées, cette bande engendre un tube cylindrique de rayon $ x $. Le volume élémentaire $ dV $ de ce tube est donné par le produit de sa circonférence $ 2\pi x $, de sa hauteur $ |\cos(x)| $ et de son épaisseur $ dx $ :

    \[ dV = 2\pi x |\cos(x)| \, dx \]

    Le volume total $ V $ s'obtient en intégrant $ dV $ sur $ [2\pi; 3\pi] $ :

    \[ V = \int_{2\pi}^{3\pi} 2\pi x |\cos(x)| \, dx \]

    Sur l'intervalle $ [2\pi; 3\pi] $, la fonction cosinus s'annule en $ \frac{5\pi}{2} $. D'aprÚs la relation de Chasles, on sépare l'intégrale pour retirer la valeur absolue :

    • Sur $ \left[2\pi; \frac{5\pi}{2}\right] $, $ \cos(x) \geq 0 $, donc $ |\cos(x)| = \cos(x) $.
    • Sur $ \left[\frac{5\pi}{2}; 3\pi\right] $, $ \cos(x) \leq 0 $, donc $ |\cos(x)| = -\cos(x) $.
    \[ V = 2\pi \left( \int_{2\pi}^{\frac{5\pi}{2}} x \cos(x) \, dx - \int_{\frac{5\pi}{2}}^{3\pi} x \cos(x) \, dx \right) \]

    Calculons une primitive de la fonction $ x \mapsto x\cos(x) $ à l'aide d'une intégration par parties. Posons :

    \[ u(x) = x \implies u'(x) = 1 \] \[ v'(x) = \cos(x) \implies v(x) = \sin(x) \] \[ \int x\cos(x) \, dx = x\sin(x) - \int \sin(x) \, dx = x\sin(x) + \cos(x) \]

    Évaluons maintenant les deux intĂ©grales :

    \[ \int_{2\pi}^{\frac{5\pi}{2}} x \cos(x) \, dx = \left[ x\sin(x) + \cos(x) \right]_{2\pi}^{\frac{5\pi}{2}} = \left( \frac{5\pi}{2} \times 1 + 0 \right) - (2\pi \times 0 + 1) = \frac{5\pi}{2} - 1 \] \[ \int_{\frac{5\pi}{2}}^{3\pi} x \cos(x) \, dx = \left[ x\sin(x) + \cos(x) \right]_{\frac{5\pi}{2}}^{3\pi} = (3\pi \times 0 - 1) - \left( \frac{5\pi}{2} \times 1 + 0 \right) = -1 - \frac{5\pi}{2} \]

    En remplaçant ces résultats dans l'expression du volume :

    \[ V = 2\pi \left( \left( \frac{5\pi}{2} - 1 \right) - \left( -1 - \frac{5\pi}{2} \right) \right) \] \[ V = 2\pi \left( \frac{5\pi}{2} - 1 + 1 + \frac{5\pi}{2} \right) \] \[ V = 2\pi \left( 5\pi \right) = 10\pi^2 \]

    Le volume du solide est de $ 10\pi^2 $ unités de volume.