Pour déterminer le volume $ V $ du solide engendré par la rotation de la courbe $ \mathscr{C} $ autour de l'axe des abscisses, nous procédons ainsi :

1. Formule du volume et unité de volume

   Le volume $ V $ d'un solide de révolution engendré par la rotation de la courbe représentative d'une fonction $ f $ autour de l'axe des abscisses, sur un intervalle $ [a; b] $, est donné en unités de volume (u.v.) par l'intégrale :

   \[ V_{u.v.} = \pi \int_{a}^{b} (f(x))^2 \, dx \]

   Le plan étant rapporté à un repère orthonormé avec $ \|\vec{i}\| = 2 \text{ cm} $, l'unité de volume correspond au volume d'un cube d'arête $ 2 \text{ cm} $ :

   \[ 1 \text{ u.v.} = \|\vec{i}\|^3 = 2^3 = 8 \text{ cm}^3 \]

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2. Calcul de l'intégrale

   La fonction $ x \mapsto \tan(x) $ est continue sur son domaine de définition, et en particulier sur l'intervalle $ \left[-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4}\right] $. L'intégrale à calculer est :

   \[ I = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \tan^2(x) \, dx \]

   En utilisant la relation trigonométrique usuelle $ \tan^2(x) = (1 + \tan^2(x)) - 1 $, on remarque que $ x \mapsto 1 + \tan^2(x) $ est la dérivée de $ x \mapsto \tan(x) $. On peut donc trouver directement une primitive :

   \[ I = \left[ \tan(x) - x \right]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \] \[ I = \left( \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) - \frac{\pi}{4} \right) - \left( \tan\left(-\frac{\pi}{4}\right) - \left(-\frac{\pi}{4}\right) \right) \] \[ I = \left( 1 - \frac{\pi}{4} \right) - \left( -1 + \frac{\pi}{4} \right) \] \[ I = 1 - \frac{\pi}{4} + 1 - \frac{\pi}{4} \] \[ I = 2 - \frac{\pi}{2} \]

   Le volume exprimé en unités de volume est donc :

   \[ V_{u.v.} = \pi \times I = \pi \left( 2 - \frac{\pi}{2} \right) = 2\pi - \frac{\pi^2}{2} \]

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3. Calcul du volume final en $ \text{cm}^3 $

   Pour trouver la valeur géométrique finale, on multiplie par la valeur de l'unité de volume calculée précédemment :

   \[ V = \left( 2\pi - \frac{\pi^2}{2} \right) \times 8 \] \[ V = 16\pi - 4\pi^2 \text{ cm}^3 \]

Le volume du solide engendré par la rotation de la courbe $ \mathscr{C} $ est de $ 16\pi - 4\pi^2 \text{ cm}^3 $.