Correction

1. Étude de la position relative des courbes

   1. Pour calculer l'aire du domaine, on étudie le signe de la différence $f(x) - g(x)$ sur l'intervalle $[e, e^2]$.
   2. Pour tout $x \in [e, e^2]$ : \[ f(x) - g(x) = \frac{x+1}{x \ln x} - \frac{1}{\ln x} = \frac{x+1}{x \ln x} - \frac{x}{x \ln x} = \frac{1}{x \ln x} \]
   3. Sur l'intervalle $[e, e^2]$, on a $x > 0$ et $\ln x \ge 1 > 0$. Le produit $x \ln x$ est donc strictement positif.
   4. On en déduit que pour tout $x \in [e, e^2]$, $f(x) - g(x) > 0$. La courbe de la fonction $f$ est strictement au-dessus de la courbe de la fonction $g$. La valeur absolue se lève donc naturellement : $|f(x) - g(x)| = \frac{1}{x \ln x}$.



2. Calcul de l'intégrale en unités d'aire (u.a.)

   1. L'aire du domaine en unités d'aire est donnée par : \[ \mathcal{A}_{\text{u.a.}} = \int_e^{e^2} |f(x) - g(x)| \,dx = \int_e^{e^2} \frac{1}{x \ln x} \,dx \]
   2. Remarquons que l'intégrande peut s'écrire sous la forme $\frac{u'(x)}{u(x)}$ en posant $u(x) = \ln x$ (dont la dérivée est $u'(x) = \frac{1}{x}$) : \[ \frac{1}{x \ln x} = \frac{\frac{1}{x}}{\ln x} \]
   3. Une primitive sur $[e, e^2]$ est donc de la forme $x \longmapsto \ln(|u(x)|)$. Puisque $\ln x > 0$ sur cet intervalle, on peut se passer de la valeur absolue : $x \longmapsto \ln(\ln x)$.
   4. Calculons la valeur de l'intégrale : \[ \int_e^{e^2} \frac{1}{x \ln x} \,dx = \left[ \ln(\ln x) \right]_e^{e^2} = \ln(\ln(e^2)) - \ln(\ln e) \]
   5. Sachant que $\ln(e^2) = 2$ et $\ln(e) = 1$, et que $\ln(1) = 0$ : \[ \mathcal{A}_{\text{u.a.}} = \ln(2) - \ln(1) = \ln(2) \text{ u.a.} \]



3. Conversion en centimètres carrés

   1. Le repère étant orthogonal, une unité d'aire (u.a.) correspond à l'aire du rectangle formé par les vecteurs de base $\vec{i}$ et $\vec{j}$.
   2. Calculons la valeur géométrique de cette unité d'aire : \[ 1 \text{ u.a.} = \|\vec{i}\| \times \|\vec{j}\| = 2\text{ cm} \times 4\text{ cm} = 8\text{ cm}^2 \]
   3. L'aire finale du domaine en centimètres carrés est donc : \[ \mathcal{A} = 8 \ln(2) \text{ cm}^2 \]