Parité de la fonction $F$

• Le domaine de définition de $F$ est $\mathbb{R}$, qui est bien symétrique par rapport à $0$.
• Pour tout $x \in \mathbb{R}$, exprimons $F(-x)$ : \[ F(-x) = \int_{-x}^{-2x} \frac{dt}{\sqrt{1+t^2+t^4}} \]
• Effectuons le changement de variable $u = -t$. On a alors $du = -dt$, ce qui donne $dt = -du$.
  Les nouvelles bornes d'intégration deviennent : pour $t = -x$, $u = x$, et pour $t = -2x$, $u = 2x$.
• En remplaçant ces éléments dans l'intégrale, on obtient : \[ F(-x) = \int_{x}^{2x} \frac{-du}{\sqrt{1+(-u)^2+(-u)^4}} = -\int_{x}^{2x} \frac{du}{\sqrt{1+u^2+u^4}} \]
• On reconnaît exactement l'expression initiale, d'où $F(-x) = -F(x)$. La fonction $F$ est donc impaire.

Théorème de la moyenne et étude asymptotique

1. Existence du réel $c$ :
   
   • Soit $x \in \mathbb{R}^*_+$. Considérons la fonction $t \longmapsto \frac{1}{\sqrt{1+t^2+t^4}}$. Elle est continue sur le segment fermé $[x, 2x]$.
   • D'après le théorème de la moyenne pour le calcul intégral, il existe au moins un réel $c \in [x, 2x]$ tel que : \[ \int_x^{2x} \frac{dt}{\sqrt{1+t^2+t^4}} = (2x - x) \times \frac{1}{\sqrt{1+c^2+c^4}} \]
   • En simplifiant, on aboutit bien au résultat attendu : \[ F(x) = \frac{x}{\sqrt{1+c^2+c^4}} \]
2. Encadrement et limite en $+\infty$ :
   
   • D'après la question 2.a, nous savons que $c \in [x, 2x]$, ce qui implique $c \ge x > 0$.
   • On en déduit que $c^4 \ge x^4$. Par conséquent, $1+c^2+c^4 > c^4 \ge x^4$.
   • La fonction racine carrée étant strictement croissante sur $\mathbb{R}^+$, il vient $\sqrt{1+c^2+c^4} > \sqrt{x^4} = x^2$.
   • En passant à l'inverse (les termes étant strictement positifs) et en multipliant par $x$ : \[ F(x) = \frac{x}{\sqrt{1+c^2+c^4}} \le \frac{x}{x^2} = \frac{1}{x} \]
   • Par ailleurs, la fonction sous l'intégrale est strictement positive et les bornes sont dans le sens croissant ($x < 2x$ car $x > 0$), donc $F(x) \ge 0$.
   • On obtient le double encadrement : \[ 0 \le F(x) \le \frac{1}{x} \]
   • Puisque $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$, le théorème des gendarmes permet de conclure formellement : \[ \lim_{x \to +\infty} F(x) = 0 \]

Calcul de la dérivée $F'(x)$

• Posons $f(t) = \frac{1}{\sqrt{1+t^2+t^4}}$. La fonction $f$ est continue sur $\mathbb{R}$, elle admet donc des primitives. Soit $G$ l'une de ses primitives sur $\mathbb{R}$.
• L'intégrale peut s'écrire sous la forme de la variation de sa primitive : \[ F(x) = G(2x) - G(x) \]
• La fonction $F$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. En appliquant la formule de la dérivée de la composée pour le terme $G(2x)$, nous avons : \[ F'(x) = 2G'(2x) - G'(x) = 2f(2x) - f(x) \]
• En substituant $f$ par son expression, on obtient la fonction dérivée pour tout $x \in \mathbb{R}$ : \[ F'(x) = \frac{2}{\sqrt{1+(2x)^2+(2x)^4}} - \frac{1}{\sqrt{1+x^2+x^4}} \] \[ F'(x) = \frac{2}{\sqrt{1+4x^2+16x^4}} - \frac{1}{\sqrt{1+x^2+x^4}} \]