1. Intégration par parties :
      Pour $n \ge 1$, on pose: \[I_n = \int\limits_0^1 x^n e^{-x} \,dx\] On choisit les fonctions $u$ et $v$ telles que :
      $u(x) = x^n \implies u'(x) = n x^{n-1}$
      $v'(x) = e^{-x} \implies v(x) = -e^{-x}$
      Les fonctions $u$ et $v$ sont continûment dérivables sur $[0, 1]$. La formule d'intégration par parties donne :
      \[ I_n = \left[ -x^n e^{-x} \right]_0^1 - \int_0^1 (-e^{-x}) n x^{n-1} \,dx \] \[ I_n = -1^n e^{-1} - (-0) + n \int_0^1 x^{n-1} e^{-x} \,dx \] En remarquant que $-e^{-1} = a$, on obtient bien la relation de récurrence :
      \[ I_n = a + n I_{n-1} \]
    2. Expression des premiers termes :
      Calculons d'abord $I_0$ :
      \[ I_0 = \int_0^1 e^{-x} \,dx = \left[ -e^{-x} \right]_0^1 = 1 - e^{-1} = 1 + a \] Utilisons la relation de récurrence pour exprimer les termes suivants en fonction de $a$ (ils seront indispensables pour la fin de l'exercice) :
      $I_1 = a + 1 \times I_0 = a + (1+a) = 1 + 2a$
      $I_2 = a + 2 \times I_1 = a + 2(1+2a) = 2 + 5a$
      $I_3 = a + 3 \times I_2 = a + 3(2+5a) = 6 + 16a$
      $I_4 = a + 4 \times I_3 = a + 4(6+16a) = 24 + 65a$
      Remarque : Si l'on pousse le calcul, la formule générale explicite est $I_n = n! I_0 + a \sum_{k=1}^n \frac{n!}{k!}$, mais disposer de la valeur des premiers termes suffit amplement pour notre encadrement final.

    1. Vérification de l'égalité algébrique :
      On reconnaßt la somme des $4$ premiers termes d'une suite géométrique de raison $-x$. Pour tout $x \in [0, 1]$ :
      \[ 1 - x + x^2 - x^3 = \frac{1 - (-x)^4}{1 - (-x)} = \frac{1 - x^4}{1 + x} \] En séparant la fraction :
      \[ 1 - x + x^2 - x^3 = \frac{1}{1+x} - \frac{x^4}{1+x} \] En réarrangeant les termes pour isoler $\frac{1}{1+x}$, on obtient l'égalité :
      \[ \frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + \frac{x^4}{1+x} \]
    2. Encadrement de la fraction :
      Soit $x \in ]0, 1]$.
      D'une part, on a $x \le 1 \implies 1+x \le 2 \implies \frac{1}{1+x} \ge \frac{1}{2}$.
      D'autre part, $x \le 1 \implies 1 \ge x \implies 1+x \ge 2x \implies \frac{1}{1+x} \le \frac{1}{2x}$.
      En multipliant ces inégalités par $x^4$ (qui est strictement positif sur $]0, 1]$) :
      \[ \frac{x^4}{2} \le \frac{x^4}{1+x} \le \frac{x^4}{2x} \implies \frac{x^4}{2} \le \frac{x^4}{1+x} \le \frac{x^3}{2} \] En ajoutant le polynÎme $(1 - x + x^2 - x^3)$ de chaque cÎté, l'encadrement devient :
      \[ 1 - x + x^2 - x^3 + \frac{x^4}{2} \le \frac{1}{1+x} \le 1 - x + x^2 - x^3 + \frac{x^3}{2} \]

    1. Encadrement de l'intégrale $I$ :
      Pour tout $x \in [0, 1]$, on multiplie l'encadrement précédent par $e^{-x}$ (qui est strictement positif). L'inégalité reste valable en $x=0$ par prolongement de continuité :
      \[ \left(1 - x + x^2 - x^3 + \frac{x^4}{2}\right)e^{-x} \le \frac{e^{-x}}{1+x} \le \left(1 - x + x^2 - x^3 + \frac{x^3}{2}\right)e^{-x} \] Par croissance de l'intégrale sur $[0, 1]$, on intÚgre membre à membre :
      \[ \int_0^1 \left(1 - x + x^2 - x^3 + \frac{x^4}{2}\right)e^{-x} \,dx \le \int_0^1 \frac{e^{-x}}{1+x} \,dx \le \int_0^1 \left(1 - x + x^2 - x^3 + \frac{x^3}{2}\right)e^{-x} \,dx \] Par linéarité de l'intégrale, on reconnaßt les termes de la suite $I_n$ définie plus haut :
      \[ I_0 - I_1 + I_2 - I_3 + \frac{1}{2}I_4 \le I \le I_0 - I_1 + I_2 - I_3 + \frac{1}{2}I_3 \]
    2. Encadrement explicite :
      Il ne reste plus qu'à remplacer les termes par leurs expressions en fonction de $a$ évaluées à la question 1 :

      Pour la borne inférieure :
      $I_0 - I_1 + I_2 - I_3 + \frac{1}{2}I_4 = (1+a) - (1+2a) + (2+5a) - (6+16a) + \frac{1}{2}(24+65a)$
      $= -4 - 12a + 12 + 32,5a = 8 + 20,5a$

      Pour la borne supérieure :
      La borne droite se simplifie en $I_0 - I_1 + I_2 - \frac{1}{2}I_3$.
      $I_0 - I_1 + I_2 - \frac{1}{2}I_3 = (1+a) - (1+2a) + (2+5a) - \frac{1}{2}(6+16a)$
      $= 2 + 4a - 3 - 8a = -1 - 4a$

      L'encadrement final explicite est donc rigoureusement :
      \[ 8 + 20,5a \le I \le -1 - 4a \]