1. Vérification de la décomposition en éléments simples

   • Soit $t \in \mathbb{R} \setminus \{-1; 1\}$. Partons du membre de droite pour retrouver l'expression du membre de gauche.
   • On réduit d'abord au même dénominateur l'expression entre parenthèses :
     $$1 + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{t-1} - \frac{1}{t+1}\right) = 1 + \frac{1}{2}\left(\frac{(t+1) - (t-1)}{(t-1)(t+1)}\right)$$
   • En simplifiant le numérateur, on obtient :
     $$1 + \frac{1}{2}\left(\frac{2}{t^2-1}\right) = 1 + \frac{1}{t^2-1}$$
   • En mettant le tout au même dénominateur :
     $$\frac{t^2-1+1}{t^2-1} = \frac{t^2}{t^2-1}$$
   • L'égalité est donc rigoureusement vérifiée pour tout $t \in \mathbb{R} \setminus \{-1; 1\}$.



2. Calcul de l'intégrale par changement de variable

   • Considérons l'intégrale $I_n(a) = \int_1^a \frac{\sqrt{1+x^{2n}}}{x} \,dx$.
   • Effectuons le changement de variable $t = \sqrt{1+x^{2n}}$.
     En élevant au carré, on a $t^2 = 1+x^{2n}$, ce qui implique que $x^{2n} = t^2-1$.
   • En différenciant cette relation de part et d'autre, on obtient :
     $$2t \,dt = 2nx^{2n-1} \,dx \implies x^{2n-1} \,dx = \frac{t}{n} \,dt$$
   • Pour faire apparaître naturellement le terme $x^{2n-1} \,dx$ dans notre intégrale, multiplions le numérateur et le dénominateur de la fonction à intégrer par $x^{2n-1}$ :
     $$I_n(a) = \int_1^a \frac{\sqrt{1+x^{2n}}}{x^{2n}} x^{2n-1} \,dx$$
   • Déterminons les nouvelles bornes d'intégration :
     Pour la borne inférieure : $x = 1 \implies t = \sqrt{1+1^{2n}} = \sqrt{2}$.
     Pour la borne supérieure : $x = a \implies t = \sqrt{1+a^{2n}}$.
   • En substituant tous les éléments, l'intégrale devient :
     $$I_n(a) = \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{1+a^{2n}}} \frac{t}{t^2-1} \cdot \frac{t}{n} \,dt = \frac{1}{n} \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{1+a^{2n}}} \frac{t^2}{t^2-1} \,dt$$
   • D'après le résultat de la première question, on peut réécrire la fraction :
     $$I_n(a) = \frac{1}{n} \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{1+a^{2n}}} \left( 1 + \frac{1}{2(t-1)} - \frac{1}{2(t+1)} \right) \,dt$$
   • En intégrant terme à terme :
     $$I_n(a) = \frac{1}{n} \left[ t + \frac{1}{2}\ln|t-1| - \frac{1}{2}\ln|t+1| \right]_{\sqrt{2}}^{\sqrt{1+a^{2n}}}$$
   • En utilisant les propriétés du logarithme népérien :
     $$I_n(a) = \frac{1}{n} \left[ t + \frac{1}{2}\ln\left(\frac{t-1}{t+1}\right) \right]_{\sqrt{2}}^{\sqrt{1+a^{2n}}}$$
     *(Les valeurs absolues peuvent être retirées car l'intervalle d'intégration garantit que $t \geq \sqrt{2} > 1$).*
   • En évaluant aux bornes, on obtient l'expression finale de $I_n(a)$ :
     $$I_n(a) = \frac{1}{n} \left( \sqrt{1+a^{2n}} + \frac{1}{2}\ln\left(\frac{\sqrt{1+a^{2n}}-1}{\sqrt{1+a^{2n}}+1}\right) - \sqrt{2} - \frac{1}{2}\ln\left(\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}\right) \right)$$

Autre méthode: double changement de variable

1. Premier changement de variable : $s = x^{2n}$

   • On part de l'astuce consistant à multiplier le numérateur et le dénominateur par $x^{2n-1}$ :
     \[I_n(a) = \int_1^a \frac{\sqrt{1+x^{2n}}}{x^{2n}} x^{2n-1} \,dx\]
   • On pose $s = x^{2n}$. La différenciation donne $ds = 2n x^{2n-1} \,dx$, ce qui implique :
     \[x^{2n-1} \,dx = \frac{1}{2n} \,ds\]
   • Les nouvelles bornes d'intégration deviennent :
     Pour $x = 1$, $s = 1^{2n} = 1$.
     Pour $x = a$, $s = a^{2n}$.
   • En remplaçant dans l'intégrale, on obtient :
     \[I_n(a) = \frac{1}{2n} \int_1^{a^{2n}} \frac{\sqrt{1+s}}{s} \,ds\]



2. Deuxième changement de variable : $u = \sqrt{1+s}$

   • Pour calculer cette nouvelle intégrale, posons $u = \sqrt{1+s}$.
     On a alors $u^2 = 1+s$, soit $s = u^2 - 1$.
   • En différenciant, on obtient $ds = 2u \,du$.
   • Les nouvelles bornes sont :
     Pour $s = 1$, $u = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.
     Pour $s = a^{2n}$, $u = \sqrt{1+a^{2n}}$.
   • Substituons ces éléments dans notre intégrale :
     \[I_n(a) = \frac{1}{2n} \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{1+a^{2n}}} \frac{u}{u^2-1} (2u) \,du\]
   • En simplifiant par $2$, on retrouve exactement l'intégrale de la méthode précédente :
     \[I_n(a) = \frac{1}{n} \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{1+a^{2n}}} \frac{u^2}{u^2-1} \,du\]
   • Il suffit ensuite d'utiliser la décomposition en éléments simples de la première question :
     \[\frac{u^2}{u^2-1} = 1 + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{u-1} - \frac{1}{u+1}\right)\]
   • L'intégration donne le même résultat final :
     \[I_n(a) = \frac{1}{n} \left[ u + \frac{1}{2}\ln\left(\frac{u-1}{u+1}\right) \right]_{\sqrt{2}}^{\sqrt{1+a^{2n}}}\]
   • Soit :
     \[I_n(a) = \frac{1}{n} \left( \sqrt{1+a^{2n}} + \frac{1}{2}\ln\left(\frac{\sqrt{1+a^{2n}}-1}{\sqrt{1+a^{2n}}+1}\right) - \sqrt{2} - \frac{1}{2}\ln\left(\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}\right) \right)\]