1. Calcul de la dérivée de la fonction $\varphi$
    • La fonction $\varphi$ est dĂ©finie sur $\mathbb{R}$ par $\varphi(x) = \ln(x+\sqrt{x^2+1})$. Posons $u(x) = x+\sqrt{x^2+1}$.
    • Puisque $\sqrt{x^2+1} > \sqrt{x^2} = |x|$, on a $u(x) > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. La fonction est donc bien dĂ©rivable sur $\mathbb{R}$.
    • En appliquant la formule de la dĂ©rivĂ©e de la composĂ©e, on a $\varphi'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)}$.
    • Calculons la dĂ©rivĂ©e de $u$ :
      \[ u'(x) = 1 + \frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}} = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} = \frac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}} \]
    • On en dĂ©duit la dĂ©rivĂ©e de $\varphi$ :
      \[ \varphi'(x) = \frac{\frac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}}}{x+\sqrt{x^2+1}} = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \]
  2. Calcul de $f(x)$
    • Soit $x \in \mathbb{R}^+$. L'intĂ©grale est donnĂ©e par $f(x) = \int_0^x \frac{\sqrt{t}}{\sqrt{1+t^3}} \,dt$.
    • Effectuons le changement de variable $u = t^{\frac{3}{2}} = t\sqrt{t}$.
    • La diffĂ©rentielle s'Ă©crit $du = \frac{3}{2}t^{\frac{1}{2}} dt = \frac{3}{2}\sqrt{t} dt$, ce qui implique que $\sqrt{t} dt = \frac{2}{3} du$.
    • Le dĂ©nominateur devient $\sqrt{1+t^3} = \sqrt{1+(t^{\frac{3}{2}})^2} = \sqrt{1+u^2}$.
    • DĂ©terminons les nouvelles bornes : pour $t = 0$, $u = 0$. Pour $t = x$, $u = x\sqrt{x}$.
    • En substituant dans l'intĂ©grale, on obtient :
      \[ f(x) = \int_0^{x\sqrt{x}} \frac{1}{\sqrt{1+u^2}} \cdot \frac{2}{3} du = \frac{2}{3} \int_0^{x\sqrt{x}} \frac{1}{\sqrt{1+u^2}} du \]
    • D'aprĂšs le rĂ©sultat de la premiĂšre question, une primitive de la fonction $u \mapsto \frac{1}{\sqrt{1+u^2}}$ est la fonction $\varphi$. On a donc :
      \[ f(x) = \frac{2}{3} \Big[ \ln(u+\sqrt{u^2+1}) \Big]_0^{x\sqrt{x}} \]
    • En Ă©valuant aux bornes, et sachant que $\varphi(0) = \ln(1) = 0$, on obtient le rĂ©sultat final :
      \[ f(x) = \frac{2}{3} \ln(x\sqrt{x}+\sqrt{x^3+1}) \]