1. Calcul de l'intégrale $ I $
      • Soit $ I = \int_0^{\ln 3} \sqrt{e^x-1} \,dx $.
        Posons le changement de variable $ t = \sqrt{e^x-1} $.
      • On en dĂ©duit $ t^2 = e^x - 1 $, soit $ e^x = t^2 + 1 $, et donc $ x = \ln(t^2+1) $.
      • La diffĂ©rentielle est $ dx = \frac{2t}{t^2+1} dt $.
      • DĂ©terminons les nouvelles bornes :
        • $ x = 0 $, $ t = \sqrt{e^0-1} = 0 $.
        • $ x = \ln 3 $, $ t = \sqrt{e^{\ln 3}-1} = \sqrt{3-1} = \sqrt{2} $.
        • L'intĂ©grale devient :
          \[ I = \int_0^{\sqrt{2}} t \cdot \frac{2t}{t^2+1} dt = 2 \int_0^{\sqrt{2}} \frac{t^2}{t^2+1} dt \]
        • On rĂ©Ă©crit la fraction rationnelle : $ \frac{t^2}{t^2+1} = \frac{t^2+1-1}{t^2+1} = 1 - \frac{1}{t^2+1} $.
        • On intĂšgre :
          \[ I = 2 \int_0^{\sqrt{2}} \left( 1 - \frac{1}{t^2+1} \right) dt = 2 \Big[ t - \arctan(t) \Big]_0^{\sqrt{2}} \]
        • Le rĂ©sultat final est :
          \[ I = 2(\sqrt{2} - \arctan(\sqrt{2})) \]

      • Calcul de l'intĂ©grale $ J $
        • Soit $ J = \int_{-3}^0 \frac{x+2}{\sqrt{x+4}} \,dx $.
          Posons $ t = \sqrt{x+4} $.
        • On a $ t^2 = x + 4 $, ce qui donne $ x = t^2 - 4 $. Le numĂ©rateur devient $ x+2 = t^2 - 2 $.
        • La diffĂ©rentielle s'Ă©crit $ dx = 2t dt $.
        • Les nouvelles bornes sont :
          • $ x = -3 $, $ t = \sqrt{1} = 1 $.
          • $ x = 0 $, $ t = \sqrt{4} = 2 $.
        • En substituant, on obtient :
          \[ J = \int_1^2 \frac{t^2-2}{t} \cdot 2t dt = 2 \int_1^2 (t^2 - 2) dt \]
        • On calcule la primitive et on Ă©value :
          \[ J = 2 \left[ \frac{t^3}{3} - 2t \right]_1^2 = 2 \left( \left( \frac{8}{3} - 4 \right) - \left( \frac{1}{3} - 2 \right) \right) \]
        • En simplifiant :
          \[ J = 2 \left( -\frac{4}{3} - \left( -\frac{5}{3} \right) \right) = 2 \left( \frac{1}{3} \right) = \frac{2}{3} \]
    1. Calcul de l'intégrale $ K $
      • Soit $ K = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^4 x \,dx $.
        Effectuons le changement de variable $ t = \tan x $.
      • La diffĂ©rentielle est $ dt = (1+\tan^2 x) dx $, ce qui implique $ dx = \frac{dt}{1+t^2} $.
      • Les bornes deviennent :
        • $ x = 0 $, $ t = \tan(0) = 0 $.
        • $ x = \frac{\pi}{4} $, $ t = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 $.
      • L'intĂ©grale s'Ă©crit :
        \[ K = \int_0^1 \frac{t^4}{1+t^2} dt \]
      • Pour simplifier, ajoutons et retranchons 1 au numĂ©rateur : $ t^4 = t^4 - 1 + 1 = (t^2-1)(t^2+1) + 1 $. Ainsi, $ \frac{t^4}{1+t^2} = t^2 - 1 + \frac{1}{1+t^2} $.
      • On obtient :
        \[ K = \int_0^1 \left( t^2 - 1 + \frac{1}{1+t^2} \right) dt = \left[ \frac{t^3}{3} - t + \arctan(t) \right]_0^1 \]
      • L'Ă©valuation aux bornes donne :
        \[ K = \left( \frac{1}{3} - 1 + \arctan(1) \right) - 0 = -\frac{2}{3} + \frac{\pi}{4} \]

    2. Calcul de l'intégrale $ L $
      • Soit $ L = \int_0^{\ln 2} \frac{e^x}{1+e^x} \ln(1+e^x) \,dx $.
        Posons $ t = 1+e^x $.
      • La diffĂ©rentielle est $ dt = e^x dx $.
      • Les bornes deviennent :
        • $ x = 0 $, $ t = 1+e^0 = 2 $
        • $ x = \ln 2 $, $ t = 1+e^{\ln 2} = 3 $.
      • L'intĂ©grale devient :
        \[ L = \int_2^3 \frac{1}{t} \ln(t) dt \]
      • On remarque que l'expression est de la forme $ u'(t)u(t) $ avec $ u(t) = \ln(t) $. Une primitive est donc $ \frac{1}{2}(\ln t)^2 $.
      • On Ă©value :
        \[ L = \left[ \frac{1}{2}(\ln t)^2 \right]_2^3 = \frac{1}{2}\left( (\ln 3)^2 - (\ln 2)^2 \right) \]