Calcul de $ F(x) $

• Soit $x \in ]-1; 0[$. Pour calculer l'intégrale, nous allons effectuer le changement de variable $u = \sqrt{1+t}$.
• On a donc $ u^2 = 1+t $, ce qui donne $t = u^2 - 1$ et la différentielle $dt = 2u du$.
• Déterminons les nouvelles bornes d'intégration : lorsque $ t = -\frac{1}{2} $, $u = \sqrt{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Lorsque $ t = x $, $u = \sqrt{1+x}$.
• En effectuant la substitution, l'intégrale s'écrit :
  \[ F(x) = \int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\sqrt{1+x}} \frac{2u}{(u^2 - 1)u} du = \int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\sqrt{1+x}} \frac{2}{u^2 - 1} du \]
• Décomposons la fraction rationnelle en éléments simples :
  \[ \frac{2}{u^2 - 1} = \frac{1}{u-1} - \frac{1}{u+1} \]
• Une primitive est donc la fonction $u \mapsto \ln|u-1| - \ln|u+1| = \ln\left|\frac{u-1}{u+1}\right|$.
• Puisque $ t \in ]-1; 0[ $, la variable $u = \sqrt{1+t}$ appartient à l'intervalle $]0; 1[$. Ainsi, $u-1 < 0$ et $ u+1 > 0 $, ce qui nous permet de lever la valeur absolue : $\left|\frac{u-1}{u+1}\right| = \frac{1-u}{1+u}$.
• On évalue cette primitive entre les bornes :
  \[ F(x) = \left[ \ln\left(\frac{1-u}{1+u}\right) \right]_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\sqrt{1+x}} \]
• Calculons la valeur en la borne inférieure :
  \[ \ln\left(\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}\right) = \ln\left(\frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}\right)=\ln(3-2\sqrt 2) \]
• L'expression explicite de $ F(x) $ est donc :
  \[ F(x) = \ln\left(\frac{1-\sqrt{1+x}}{1+\sqrt{1+x}}\right) - \ln(3-2\sqrt{2}) \]

Calcul des limites aux bornes

1. Limite de $ F(x) $ quand $ x \to 0^- $

   • Lorsque $x$ tend vers $ 0^- $, l'expression $\sqrt{1+x}$ tend vers $1^-$.
   • Par conséquent, le numérateur $1-\sqrt{1+x} \to 0^+$ et le dénominateur $1+\sqrt{1+x} \to 2$.
   • Le quotient tend vers $ 0^+ $, d'où par composition avec le logarithme :
     \[ \lim_{x \to 0^-} \ln\left(\frac{1-\sqrt{1+x}}{1+\sqrt{1+x}}\right) = -\infty \]
   • On en déduit finalement :
     \[ \lim_{x \to 0^-} F(x) = -\infty \]

2. Limite de $ F(x) $ quand $ x \to -1^+ $

   • Lorsque $x$ tend vers $ -1^+ $, l'expression $\sqrt{1+x}$ tend vers $0^+$.
   • Le quotient $\frac{1-\sqrt{1+x}}{1+\sqrt{1+x}}$ tend donc vers $\frac{1}{1} = 1$.
   • Par continuité du logarithme en $ 1 $, on obtient :
     \[ \lim_{x \to -1^+} \ln\left(\frac{1-\sqrt{1+x}}{1+\sqrt{1+x}}\right) = \ln(1) = 0 \]
   • On en conclut que :
     \[ \lim_{x \to -1^+} F(x) = -\ln(3-2\sqrt{2}) \] Remarque : Sachant que $ (3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2}) = 1 $, cette limite peut aussi s'écrire $\ln(3+2\sqrt{2})$.