1. Vérification de l'égalité
    Pour tout $ t \in \mathbb{R} \setminus \{-1\} $, utilisons la méthode constructive demandée en faisant apparaßtre une identité remarquable au numérateur :
    • On reconnaĂźt l'identitĂ© remarquable $t^2 - 1 = (t-1)(t+1)$ : \[ \frac{t^2}{t+1} = \frac{(t-1)(t+1) + 1}{t+1} \]
    • En sĂ©parant la fraction : \[ \frac{t^2}{t+1} = \frac{(t-1)(t+1)}{t+1} + \frac{1}{t+1} \]
    • Soit pour ($t \neq -1$) : \[ \frac{t^2}{t+1} = t - 1 + \frac{1}{t+1} \]
  2. Calcul de l'intégrale $I$
    Soit l'intégrale : \[ I = \int_1^{\sqrt{2}} \frac{t^2}{1+t} \,dt \]
    D'aprÚs la question précédente, nous pouvons remplacer la fraction par sa forme décomposée : \[ I = \int_1^{\sqrt{2}} \left( t - 1 + \frac{1}{t+1} \right) \,dt \]
    • Nous dĂ©terminons une primitive pour chaque terme : \[ I = \left[ \frac{t^2}{2} - t + \ln(t+1) \right]_1^{\sqrt{2}} \] (car $t+1 > 0$ sur l'intervalle d'intĂ©gration)
    • Évaluation Ă  la borne supĂ©rieure ($t = \sqrt{2}$) : \[ \frac{(\sqrt{2})^2}{2} - \sqrt{2} + \ln(\sqrt{2}+1) = 1 - \sqrt{2} + \ln(\sqrt{2}+1) \]
    • Évaluation Ă  la borne infĂ©rieure ($t = 1$) : \[ \frac{1^2}{2} - 1 + \ln(1+1) = \frac{1}{2} - 1 + \ln(2) = -\frac{1}{2} + \ln(2) \]
    • Soustraction des deux rĂ©sultats : \[ I = \left( 1 - \sqrt{2} + \ln(\sqrt{2}+1) \right) - \left( -\frac{1}{2} + \ln(2) \right) \]
    • Simplification finale : \[ I = \frac{3}{2} - \sqrt{2} + \ln(\sqrt{2}+1) - \ln(2) = \frac{3}{2} - \sqrt{2} + \ln\left(\frac{\sqrt{2}+1}{2}\right) \]
  3. Calcul de l'intégrale $J$ par changement de variable
    Soit l'intégrale : \[ J = \int_0^{\ln 2} \frac{e^x}{1+e^{\frac{x}{2}}} dx \]
    Pour stimuler la réflexion, manipulons astucieusement l'élément différentiel.
    Remarquons que : \[ e^x dx = e^{\frac{x}{2}} \cdot e^{\frac{x}{2}} dx =2e^{x/2}\cdot d(e^{x/2})\]
    Car: $~e^{\frac{x}{2}} dx = 2 d(e^{\frac{x}{2}})$.
    Ce qui nous donne l'égalité directe : \[ e^x dx = 2e^{\frac{x}{2}} d(e^{\frac{x}{2}}) \]
    En substituant dans l'intégrale, on obtient : \[ J = \int_1^{\sqrt{2}} \frac{2t}{1+t} dt \]
    Pour calculer cette intégrale, appliquons à nouveau la méthode constructive ($t = t+1-1$) : \[ J = 2 \int_1^{\sqrt{2}} \frac{t+1-1}{t+1} dt = 2 \int_1^{\sqrt{2}} \left( 1 - \frac{1}{t+1} \right) dt \]
    On intĂšgre avec les primitives usuelles : \[ J = 2 \Big[ t - \ln(t+1) \Big]_1^{\sqrt{2}} \]
    Calcul aux bornes : \[ J = 2 \Big( (\sqrt{2} - \ln(\sqrt{2}+1)) - (1 - \ln(2)) \Big) \]
    RĂ©sultat final : \[ J = 2\sqrt{2} - 2 - 2\ln(\sqrt{2}+1) + 2\ln(2) \]