1. Détermination des réels $\alpha$ et $ \beta $
    Pour tout $ t \neq -1 $, nous pouvons utiliser une méthode constructive en faisant apparaßtre l'expression du dénominateur au numérateur : \[ \frac{t}{(t+1)^2} = \frac{t + 1 - 1}{(t+1)^2} \]
    • En sĂ©parant la fraction : \[ \frac{t+1 - 1}{(t+1)^2} = \frac{t+1}{(t+1)^2} - \frac{1}{(t+1)^2} \]
    • En simplifiant la premiĂšre fraction par $t+1$ : \[ \frac{t}{(t+1)^2} = \frac{1}{t+1} - \frac{1}{(t+1)^2} \]

    Par identification avec la forme demandée, on en déduit immédiatement : \[ \alpha = 1 \quad \text{et} \quad \beta = -1 \]
  2. Calcul de l'intégrale $I$ par changement de variable
    Soit l'intégrale : \[ I = \int_{1}^{16} \frac{dx}{\sqrt{x}(\sqrt[4]{x}+1)^2} \]
    On pose le changement de variable $x = t^4$.
    • DiffĂ©rentielle : $dx = 4t^3 dt$.
    • Changement des bornes : si $ x = 1 $, alors $t = 1$. Si $ x = 16 $, alors $t = 2$.
    • Remplacement des termes : $\sqrt{x} = \sqrt{t^4} = t^2$ et $\sqrt[4]{x} = t$.

    En substituant dans l'intégrale initiale, on obtient : \[ I = \int_{1}^{2} \frac{4t^3}{t^2(t+1)^2} dt = 4 \int_{1}^{2} \frac{t}{(t+1)^2} dt \]
    D'aprÚs la question précédente, nous avons $\frac{t}{(t+1)^2} = \frac{1}{t+1} - \frac{1}{(t+1)^2}$. L'intégrale devient donc : \[ I = 4 \int_{1}^{2} \left( \frac{1}{t+1} - \frac{1}{(t+1)^2} \right) dt \]
    Nous cherchons les primitives usuelles : une primitive de $\frac{1}{t+1}$ est $ \ln(t+1) $, et une primitive de $-\frac{1}{(t+1)^2}$ est $\frac{1}{t+1}$. \[ I = 4 \left[ \ln(t+1) + \frac{1}{t+1} \right]_{1}^{2} \]
    Calculons les valeurs aux bornes :
    • Pour $t = 2$ : $ \ln(3) + \frac{1}{3} $
    • Pour $t = 1$ : $ \ln(2) + \frac{1}{2} $

    On effectue la soustraction : \[ I = 4 \left( \ln(3) + \frac{1}{3} - \left( \ln(2) + \frac{1}{2} \right) \right) \] \[ I = 4 \left( \ln(3) - \ln(2) + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \right) \] \[ I = 4 \left( \ln\left(\frac{3}{2}\right) - \frac{1}{6} \right) \]
    Le résultat final est : \[ I = 4\ln\left(\frac{3}{2}\right) - \frac{2}{3} \]