Corrigé de l'exercice

1. Expression de $I(x)$ en fonction de $x$

   Autre méthode

   Pour tout $t \in ]0;1]$, on sait que $\text{Arctan}(t) + \text{Arctan}\left(\frac{1}{t}\right) = \frac{\pi}{2}$.
   On peut donc réécrire l'intégrale initiale sous la forme :
   
   \[ I(x) = \int_x^1 t \left( \frac{\pi}{2} - \text{Arctan}(t) \right) \,dt \]
   Par linéarité de l'intégrale, on sépare en deux termes :
   \[ I(x) = \frac{\pi}{2} \int_x^1 t \,dt - \int_x^1 t \, \text{Arctan}(t) \,dt \]
   Le calcul du premier terme est immédiat :
   \[ \frac{\pi}{2} \left[ \frac{t^2}{2} \right]_x^1 = \frac{\pi}{4}(1 - x^2) \]
   Pour le second terme, on procède à une intégration par parties directe :
   \[ \int_x^1 \left(\frac{t^2}{2}\right)' \text{Arctan}(t) \,dt = \left[ \frac{t^2}{2} \text{Arctan}(t) \right]_x^1 - \int_x^1 \frac{t^2}{2} \times \frac{1}{1+t^2} \,dt \]
   \[ \int_x^1 t \, \text{Arctan}(t) \,dt = \frac{1}{2}\text{Arctan}(1) - \frac{x^2}{2}\text{Arctan}(x) - \frac{1}{2} \int_x^1 \frac{t^2 + 1 - 1}{t^2+1} \,dt \]
   \[ \int_x^1 t \, \text{Arctan}(t) \,dt = \frac{\pi}{8} - \frac{x^2}{2}\text{Arctan}(x) - \frac{1}{2} \left[ t - \text{Arctan}(t) \right]_x^1 \]
   \[ \int_x^1 t \, \text{Arctan}(t) \,dt = \frac{\pi}{8} - \frac{x^2}{2}\text{Arctan}(x) - \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{\pi}{4} - x + \text{Arctan}(x) \right) \]
   En simplifiant et en regroupant les deux parties dans $I(x)$ :
   \[ I(x) = \frac{\pi}{4}(1 - x^2) - \left( \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} + \frac{x}{2} - \frac{1+x^2}{2}\text{Arctan}(x) \right) \]
   \[ I(x) = \frac{1-x}{2} - \frac{\pi x^2}{4} + \left(\frac{1+x^2}{2}\right)\text{Arctan}(x) \]

2. Calcul de la limite

   • $\lim_{x \to 0^+} \frac{1-x}{2} = \frac{1}{2}$
   • $\lim_{x \to 0^+} \frac{\pi x^2}{4} = 0$
   • $\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{1+x^2}{2}\right)\text{Arctan}(x) = \frac{1}{2} \times 0 = 0$
   
   Par somme des limites, on obtient :
   \[ \lim_{x \to 0^+} I(x) = \frac{1}{2} \]