1. Vérification de l'égalité
    • Soit $t \in \mathbb{R}^*_+$. En procédant par décomposition successive, on obtient directement le résultat :
    \[ \begin{align*} \frac{1}{t(t+1)^2} &= \frac{1}{t+1} \left( \frac{1}{t(t+1)} \right) \\ &= \frac{1}{t+1} \left( \frac{1}{t} - \frac{1}{t+1} \right) \\ &= \frac{1}{t(t+1)} - \frac{1}{(t+1)^2} \\ &= \left( \frac{1}{t} - \frac{1}{t+1} \right) - \frac{1}{(t+1)^2} \\ &= \frac{1}{t} - \frac{1}{t+1} - \frac{1}{(t+1)^2} \end{align*} \]

  2. Calcul de l'intégrale $I$ par manipulation algébrique
    • Transformons l'intégrand en faisant apparaître le terme $e^x$ au numérateur :
    \[ \begin{align*} \frac{1}{(e^x+1)^2} &= \frac{1 + e^x - e^x}{(e^x+1)^2} \\ &= \frac{1+e^x}{(e^x+1)^2} - \frac{e^x}{(e^x+1)^2} \\ &= \frac{1}{e^x+1} - e^x(e^x+1)^{-2} \end{align*} \]
    • Pour le premier terme, multiplions le numérateur et le dénominateur par $e^{-x}$ afin de faire apparaître une forme $\frac{u'}{u}$ :
    \[ \begin{align*} \frac{1}{e^x+1} &= \frac{e^{-x}}{e^{-x}(e^x+1)} = \frac{e^{-x}}{1+e^{-x}} \end{align*} \]
    • L'intégrale $I$ se réécrit alors sous une forme où les primitives sont immédiates :
    \[ \begin{align*} I &= \int_0^1 \left( \frac{e^{-x}}{1+e^{-x}} - e^x(e^x+1)^{-2} \right) \,dx \\ &= \int_0^1 \left( - \frac{-e^{-x}}{1+e^{-x}} - e^x(e^x+1)^{-2} \right) \,dx \\ &= \left[ -\ln(1+e^{-x}) - \left(-\frac{1}{e^x+1}\right) \right]_0^1 \\ &= \left[ -\ln(1+e^{-x}) + (e^x+1)^{-1} \right]_0^1 \end{align*} \]
    • Il ne reste plus qu'à évaluer aux bornes :
    \[ \begin{align*} I &= \left( -\ln(1+e^{-1}) + (e+1)^{-1} \right) - \left( -\ln(1+e^0) + (e^0+1)^{-1} \right) \\ &= -\ln\left(\frac{e+1}{e}\right) + \frac{1}{e+1} + \ln(2) - \frac{1}{2} \\ &= -(\ln(e+1) - \ln e) + \frac{1}{e+1} + \ln(2) - \frac{1}{2} \\ I &= 1 - \ln(e+1) + \frac{1}{e+1} + \ln 2 - \frac{1}{2} \\ I &= \frac{1}{2} + \ln 2 - \ln(e+1) + \frac{1}{e+1} \end{align*} \]

  3. Calcul de l'intégrale $J$ par parties
    • En utilisant les exposants négatifs, réécrivons l'intégrale : $J = \int_0^1 x e^x(e^x+1)^{-3} \,dx$.
    • Le facteur $e^x(e^x+1)^{-3}$ est de la forme $u'u^{-3}$, dont une primitive immédiate est $-\frac{1}{2}u^{-2}$. Faisons apparaître cette dérivée implicitement :
    \[ \begin{align*} J &= \int_0^1 x \left( -\frac{1}{2}(e^x+1)^{-2} \right)' \,dx \\ &= \left[ -\frac{1}{2}x(e^x+1)^{-2} \right]_0^1 - \int_0^1 1 \times \left( -\frac{1}{2}(e^x+1)^{-2} \right) \,dx \\ &= -\frac{1}{2}(e+1)^{-2} - 0 + \frac{1}{2} \int_0^1 (e^x+1)^{-2} \,dx \end{align*} \]
    • On reconnaît exactement l'intégrale $I$ calculée à la question précédente :
    \[ \begin{align*} J &= -\frac{1}{2}(e+1)^{-2} + \frac{1}{2} I \\ &= -\frac{1}{2}(e+1)^{-2} + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} + \ln 2 - \ln(e+1) + \frac{1}{e+1} \right) \\ J &= -\frac{1}{2(e+1)^2} + \frac{1}{4} + \frac{\ln 2}{2} - \frac{\ln(e+1)}{2} + \frac{1}{2(e+1)} \end{align*} \]