1. Calcul de la dérivée $f'(x)$
    1. DĂ©rivation de la fonction $f$ :
      La fonction $f$ définie par $f(x) = \frac{xe^x}{e^x+1}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ en tant que quotient de fonctions dérivables, dont le dénominateur ne s'annule pas sur $\mathbb{R}$.
      On pose $u(x) = xe^x$ et $v(x) = e^x+1$.
      Leurs dérivées respectives sont : \[ u'(x) = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = e^x(x+1) \] \[ v'(x) = e^x \] En appliquant la formule de la dérivée d'un quotient $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ : \[ f'(x) = \frac{e^x(x+1)(e^x+1) - (xe^x)(e^x)}{(e^x+1)^2} \] On développe le numérateur : \[ f'(x) = \frac{e^x(xe^x + x + e^x + 1) - x e^{2x}}{(e^x+1)^2} \] \[ f'(x) = \frac{xe^{2x} + xe^x + e^{2x} + e^x - xe^{2x}}{(e^x+1)^2} \] AprÚs simplification des termes en $xe^{2x}$, on factorise par $e^x$ : \[ f'(x) = \frac{e^x(e^x + x + 1)}{(e^x+1)^2} \] Ce qui correspond bien au résultat demandé.

  2. Calcul de l'intégrale $I$
    1. Intégration par parties :
      Soit l'intégrale $I = \int_1^2 \frac{e^x(e^x+x+1)}{(e^x+1)^2} \ln x \,dx$.
      D'aprÚs la question précédente, on remarque que l'expression correspond à $\int_1^2 f'(x) \ln x \,dx$.
      En appliquant la formule d'intégration par parties : \[ I = \left[ \frac{xe^x}{e^x+1} \ln x \right]_1^2 - \int_1^2 \frac{xe^x}{e^x+1} \cdot \frac{1}{x} \,dx \] On évalue le terme entre crochets : \[ \left[ \frac{xe^x}{e^x+1} \ln x \right]_1^2 = \left( \frac{2e^2}{e^2+1} \ln 2 \right) - \left( \frac{1 \cdot e^1}{e^1+1} \ln 1 \right) = \frac{2e^2 \ln 2}{e^2+1} \] Pour l'intégrale restante, on simplifie par $x$ (puisque $x \neq 0$ sur $[1, 2]$) : \[ \int_1^2 \frac{e^x}{e^x+1} \,dx \] On reconnaßt la forme $\frac{w'(x)}{w(x)}$ avec $w(x) = e^x+1 > 0$, dont une primitive est $\ln(e^x+1)$ : \[ \int_1^2 \frac{e^x}{e^x+1} \,dx = \left[ \ln(e^x+1) \right]_1^2 = \ln(e^2+1) - \ln(e+1) \] Finalement, en assemblant les deux parties : \[ I = \frac{2e^2 \ln 2}{e^2+1} - \left( \ln(e^2+1) - \ln(e+1) \right) \] \[ I = \frac{2e^2 \ln 2}{e^2+1} - \ln(e^2+1) + \ln(e+1) \]