Correction : Étude de la suite $(u_n)$

1. Calcul de l'intégrale $I_n(\alpha)$

   1. Intégration par parties :
      Pour $r \in \mathbb{Q} \setminus \{-1\}$ et $\alpha > 0$, on calcule $I_r(\alpha) = \int_1^{\alpha} x^r \ln(x) \,dx$.
      On pose les fonctions $u$ et $v$ de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}^*_+$ : \[ u(x) = \ln(x) \implies u'(x) = \frac{1}{x} \] \[ v'(x) = x^r \implies v(x) = \frac{x^{r+1}}{r+1} \] En appliquant la formule d'intégration par parties : \[ I_r(\alpha) = \left[ \frac{x^{r+1}}{r+1} \ln(x) \right]_1^{\alpha} - \int_1^{\alpha} \frac{x^{r+1}}{r+1} \cdot \frac{1}{x} \,dx \] \[ I_r(\alpha) = \frac{\alpha^{r+1} \ln(\alpha)}{r+1} - \frac{1}{r+1} \int_1^{\alpha} x^r \,dx \] Le calcul de la primitive restante donne : \[ I_r(\alpha) = \frac{\alpha^{r+1} \ln(\alpha)}{r+1} - \frac{1}{r+1} \left[ \frac{x^{r+1}}{r+1} \right]_1^{\alpha} \] \[ I_r(\alpha) = \frac{\alpha^{r+1} \ln(\alpha)}{r+1} - \frac{\alpha^{r+1}}{(r+1)^2} + \frac{1}{(r+1)^2} \]



2. Limite de la suite $(u_n)$

   1. Expression de $u_n$ :
      Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on remarque que $u_n = I_n(e)$. Comme $n \geq 1$, la condition $n \neq -1$ est vérifiée.
      En substituant $\alpha = e$ dans le résultat précédent : \[ u_n = \frac{e^{n+1} \ln(e)}{n+1} - \frac{e^{n+1}}{(n+1)^2} + \frac{1}{(n+1)^2} \] Sachant que $\ln(e) = 1$, on met l'expression au même dénominateur : \[ u_n = \frac{e^{n+1}(n+1)}{(n+1)^2} - \frac{e^{n+1}}{(n+1)^2} + \frac{1}{(n+1)^2} \] \[ u_n = \frac{n e^{n+1} + 1}{(n+1)^2} \]
   
   
   2. Calcul de la limite :
      Pour lever l'indétermination lorsque $n \to +\infty$, on factorise par les termes prépondérants : \[ u_n = \frac{n e^{n+1}}{n^2 \left(1+\frac{1}{n}\right)^2} + \frac{1}{(n+1)^2} \] \[ u_n = \frac{e^{n+1}}{n} \times \frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^2} + \frac{1}{(n+1)^2} \] Par croissances comparées, on sait que l'exponentielle l'emporte sur les polynômes : \[ \lim_{n \to +\infty} \frac{e^{n+1}}{n} = +\infty \] De plus, on a les limites usuelles suivantes : \[ \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^2} = 1 \quad \text{et} \quad \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{(n+1)^2} = 0 \] Par opérations sur les limites (produit puis somme), on conclut : \[ \lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty \]