Correction de l'exercice

1. Calcul de l'intégrale $ I $

   • On effectue une première intégration par parties en posant : \[ \begin{aligned} u(x) &= 2x^2-x & \implies u'(x) &= 4x-1 \\ v'(x) &= \cos x & \implies v(x) &= \sin x \end{aligned} \] Les fonctions $ u $ et $ v $ sont continûment dérivables sur $ \left[0; \frac{\pi}{2}\right] $.
   • On applique la formule : \[ \begin{aligned} I &= \left[ (2x^2-x)\sin x \right]_0^{\frac{\pi}{2}} - \int_0^{\frac{\pi}{2}} (4x-1)\sin x \,dx \\ &= \left( 2\left(\frac{\pi^2}{4}\right) - \frac{\pi}{2} \right)(1) - 0 - \int_0^{\frac{\pi}{2}} (4x-1)\sin x \,dx \\ &= \frac{\pi^2}{2} - \frac{\pi}{2} - \int_0^{\frac{\pi}{2}} (4x-1)\sin x \,dx \end{aligned} \]
   • On réalise une seconde intégration par parties pour la nouvelle intégrale en posant : \[ \begin{aligned} u_1(x) &= 4x-1 & \implies u_1'(x) &= 4 \\ v_1'(x) &= \sin x & \implies v_1(x) &= -\cos x \end{aligned} \]
   • Ce qui donne : \[ \begin{aligned} \int_0^{\frac{\pi}{2}} (4x-1)\sin x \,dx &= \left[ -(4x-1)\cos x \right]_0^{\frac{\pi}{2}} - \int_0^{\frac{\pi}{2}} -4\cos x \,dx \\ &= 0 - (-(-1)(1)) + \left[ 4\sin x \right]_0^{\frac{\pi}{2}} \\ &= -1 + 4(1 - 0) \\ &= 3 \end{aligned} \]
   • On remplace dans l'expression de $ I $ : \[ I = \frac{\pi^2}{2} - \frac{\pi}{2} - 3 \]
   
   

   Calcul de l'intégrale $ J $

   • Pour éviter une intégration par parties laborieuse sur le carré du cosinus, on commence par linéariser $ \cos^2 x $ : \[ \cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2} \] L'intégrale se sépare en deux : \[ \begin{aligned} J &= \int_0^{\pi} (3x+4)\left(\frac{1 + \cos(2x)}{2}\right) \,dx \\ &= \frac{1}{2}\int_0^{\pi} (3x+4) \,dx + \frac{1}{2}\int_0^{\pi} (3x+4)\cos(2x) \,dx \end{aligned} \]
   • La première intégrale se calcule directement : \[ \begin{aligned} \frac{1}{2}\int_0^{\pi} (3x+4) \,dx &= \frac{1}{2} \left[ \frac{3}{2}x^2 + 4x \right]_0^{\pi} \\ &= \frac{1}{2} \left( \frac{3\pi^2}{2} + 4\pi \right) \\ &= \frac{3\pi^2}{4} + 2\pi \end{aligned} \]
   • On calcule la seconde intégrale par parties en posant : \[ \begin{aligned} u(x) &= 3x+4 & \implies u'(x) &= 3 \\ v'(x) &= \cos(2x) & \implies v(x) &= \frac{1}{2}\sin(2x) \end{aligned} \]
   • On obtient : \[ \begin{aligned} \frac{1}{2}\int_0^{\pi} (3x+4)\cos(2x) \,dx &= \frac{1}{2} \left( \left[ \frac{3x+4}{2}\sin(2x) \right]_0^{\pi} - \int_0^{\pi} \frac{3}{2}\sin(2x) \,dx \right) \\ &= \frac{1}{2} \left( (0 - 0) - \left[ -\frac{3}{4}\cos(2x) \right]_0^{\pi} \right) \\ &= \frac{1}{2} \left( 0 + \left( \frac{3}{4} - \frac{3}{4} \right) \right) \\ &= 0 \end{aligned} \]
   • En sommant les deux parties, on conclut : \[ J = \frac{3\pi^2}{4} + 2\pi \]



2. Calcul de l'intégrale $ K $

   • On effectue une première intégration par parties : \[ \begin{aligned} u(x) &= \sin(\ln x) & \implies u'(x) &= \frac{1}{x}\cos(\ln x) \\ v'(x) &= x^2 & \implies v(x) &= \frac{x^3}{3} \end{aligned} \]
   • On applique la formule : \[ \begin{aligned} K &= \left[ \frac{x^3}{3}\sin(\ln x) \right]_1^2 - \int_1^2 \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x}\cos(\ln x) \,dx \\ &= \frac{8}{3}\sin(\ln 2) - 0 - \frac{1}{3} \int_1^2 x^2\cos(\ln x) \,dx \end{aligned} \]
   • On effectue une seconde intégration par parties sur l'intégrale restante : \[ \begin{aligned} u_1(x) &= \cos(\ln x) & \implies u_1'(x) &= -\frac{1}{x}\sin(\ln x) \\ v_1'(x) &= x^2 & \implies v_1(x) &= \frac{x^3}{3} \end{aligned} \]
   • L'intégrale devient : \[ \begin{aligned} \int_1^2 x^2\cos(\ln x) \,dx &= \left[ \frac{x^3}{3}\cos(\ln x) \right]_1^2 - \int_1^2 \frac{x^3}{3} \left(-\frac{1}{x}\sin(\ln x)\right) \,dx \\ &= \frac{8}{3}\cos(\ln 2) - \frac{1}{3}\cos(0) + \frac{1}{3} \int_1^2 x^2\sin(\ln x) \,dx \\ &= \frac{8}{3}\cos(\ln 2) - \frac{1}{3} + \frac{1}{3}K \end{aligned} \]
   • On réinjecte ce résultat dans l'expression initiale de $ K $ : \[ \begin{aligned} K &= \frac{8}{3}\sin(\ln 2) - \frac{1}{3}\left( \frac{8}{3}\cos(\ln 2) - \frac{1}{3} + \frac{1}{3}K \right) \\ K &= \frac{8}{3}\sin(\ln 2) - \frac{8}{9}\cos(\ln 2) + \frac{1}{9} - \frac{1}{9}K \end{aligned} \]
   • On résout l'équation d'inconnue $ K $ : \[ \begin{aligned} K + \frac{1}{9}K &= \frac{24\sin(\ln 2) - 8\cos(\ln 2) + 1}{9} \\ \frac{10}{9}K &= \frac{24\sin(\ln 2) - 8\cos(\ln 2) + 1}{9} \\ K &= \frac{24\sin(\ln 2) - 8\cos(\ln 2) + 1}{10} \end{aligned} \]
   
   

   Calcul de l'intégrale $ L $

   • On écrit l'intégrande sous la forme $ 1 \cdot \ln^2 x $ et on pose : \[ \begin{aligned} u(x) &= \ln^2 x & \implies u'(x) &= 2 \cdot \frac{1}{x} \cdot \ln x = \frac{2\ln x}{x} \\ v'(x) &= 1 & \implies v(x) &= x \end{aligned} \]
   • On applique la formule d'intégration par parties : \[ \begin{aligned} L &= \left[ x \ln^2 x \right]_1^e - \int_1^e x \cdot \frac{2\ln x}{x} \,dx \\ &= \left( e(\ln e)^2 - 1(\ln 1)^2 \right) - 2 \int_1^e \ln x \,dx \\ &= e - 2 \int_1^e \ln x \,dx \end{aligned} \]
   • Une primitive usuelle de $ x \longmapsto \ln x $ est $ x \longmapsto x\ln x - x $. On évalue : \[ \begin{aligned} L &= e - 2 \left[ x\ln x - x \right]_1^e \\ &= e - 2 \left( (e\ln e - e) - (1\ln 1 - 1) \right) \\ &= e - 2 \left( (e - e) - (0 - 1) \right) \\ &= e - 2(1) \\ &= e - 2 \end{aligned} \]