Calcul de l'intégrale $ A $
  • On pose : \[ \begin{aligned} u(x) &= x & \implies u'(x) &= 1 \\ v'(x) &= \frac{1}{\sqrt{1+2x}} & \implies v(x) &= \sqrt{1+2x} \end{aligned} \] Les fonctions $ u $ et $ v $ sont continĂ»ment dĂ©rivables sur $ \left[\frac{1}{2}; 1\right] $.
  • En appliquant la formule d'intĂ©gration par parties : \[ \begin{aligned} A &= \left[ x\sqrt{1+2x} \right]_{\frac{1}{2}}^1 - \int_{\frac{1}{2}}^1 \sqrt{1+2x} \,dx \\ &= \left( 1\sqrt{3} - \frac{1}{2}\sqrt{2} \right) - \left[ \frac{1}{3}(1+2x)^{\frac{3}{2}} \right]_{\frac{1}{2}}^1 \\ &= \sqrt{3} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{3}\left( 3\sqrt{3} - 2\sqrt{2} \right) \\ &= \sqrt{3} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \sqrt{3} + \frac{2\sqrt{2}}{3} \\ &= \frac{4\sqrt{2} - 3\sqrt{2}}{6} \\ &= \frac{\sqrt{2}}{6} \end{aligned} \]
    Calcul de A par changement de variable:
    Posons: $~u = 2x+1$
    • On a alors:
      $ du = 2 \,dx $, soit $ dx = \frac{1}{2} \,du ~~$ et $~~ x = \frac{u-1}{2} $.

    • Les nouvelles bornes d'intĂ©gration sont : \begin{align*} x &= \frac{1}{2} \implies u = 2\left(\frac{1}{2}\right) + 1 = 2 \\ x &= 1 \implies u = 2(1) + 1 = 3 \end{align*}

    • En appliquant le changement de variable, l'intĂ©grale s'Ă©crit : \[ \begin{aligned} A &= \int_2^3 \frac{\frac{u-1}{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} \,du \\ &= \frac{1}{4} \int_2^3 \frac{u-1}{\sqrt{u}} \,du \\ &= \frac{1}{4} \int_2^3 \left( \sqrt{u} - \frac{1}{\sqrt{u}} \right) \,du \end{aligned} \]

    • On dĂ©termine une primitive et on Ă©value : \[ \begin{aligned} A &= \frac{1}{4} \left[ \frac{2}{3}u\sqrt{u} - 2\sqrt{u} \right]_2^3 \\ &= \frac{1}{4} \left( \left( \frac{2}{3}(3)\sqrt{3} - 2\sqrt{3} \right) - \left( \frac{2}{3}(2)\sqrt{2} - 2\sqrt{2} \right) \right) \\ &= \frac{1}{4} \left( (2\sqrt{3} - 2\sqrt{3}) - \left( \frac{4\sqrt{2}}{3} - \frac{6\sqrt{2}}{3} \right) \right) \\ &= \frac{1}{4} \left( 0 - \left( -\frac{2\sqrt{2}}{3} \right) \right) \\ &= \frac{1}{4} \times \frac{2\sqrt{2}}{3} \\ &= \frac{\sqrt{2}}{6} \end{aligned} \]

Calcul de l'intégrale $ B $
  • On pose : \[ \begin{aligned} u(x) &= \ln x & \implies u'(x) &= \frac{1}{x} \\ v'(x) &= x & \implies v(x) &= \frac{x^2}{2} \end{aligned} \] Les fonctions $ u $ et $ v $ sont continĂ»ment dĂ©rivables sur $ [1; e] $.
  • L'intĂ©gration par parties donne : \[ \begin{aligned} B &= \left[ \frac{x^2}{2} \ln x \right]_1^e - \int_1^e \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \,dx \\ &= \left( \frac{e^2}{2} \ln(e) - 0 \right) - \int_1^e \frac{x}{2} \,dx \\ &= \frac{e^2}{2} - \left[ \frac{x^2}{4} \right]_1^e \\ &= \frac{e^2}{2} - \left( \frac{e^2}{4} - \frac{1}{4} \right) \\ &= \frac{e^2 + 1}{4} \end{aligned} \]
    Calul de B par la méthode de la reconnaissance de dérivée:
    • posons: $~~ f(x) = x \ln x $.
      Au lieu d'utiliser l'intégration par parties, cherchons directement une primitive en manipulant des dérivées connues.

    • ConsidĂ©rons la dĂ©rivĂ©e de la fonction $ x \longmapsto x^2 \ln x $ : \[ (x^2 \ln x)' = 2x \ln x + x^2 \times \frac{1}{x} = 2x \ln x + x \] On remarque que l'on fait apparaĂźtre notre fonction $ f $ : \[ (x^2 \ln x)' = 2f(x) + x \]

    • On isole $ f(x) $ dans cette Ă©galitĂ© : \[ 2f(x) = (x^2 \ln x)' - x \] Or, on sait que $ x $ est la dĂ©rivĂ©e de $ \frac{x^2}{2} $, ce qui nous permet d'Ă©crire : \[ 2f(x) = (x^2 \ln x)' - \left(\frac{x^2}{2}\right)' \]

    • Par linĂ©aritĂ© de la dĂ©rivation, on obtient : \[ f(x) = \frac{1}{2} \left( x^2 \ln x - \frac{x^2}{2} \right)' \] Une primitive $ F $ de $ f $ sur $ [1; e] $ est donc directement donnĂ©e par : \[ F(x) = \frac{1}{2} \left( x^2 \ln x - \frac{x^2}{2} \right) \]

    • Il ne reste plus qu'Ă  Ă©valuer l'intĂ©grale $ B $ entre $ 1 $ et $ e $ : \[ \begin{aligned} B &= F(e) - F(1) \\ &= \frac{1}{2} \left( e^2 \ln(e) - \frac{e^2}{2} \right) - \frac{1}{2} \left( 1^2 \ln(1) - \frac{1^2}{2} \right) \\ &= \frac{1}{2} \left( e^2 - \frac{e^2}{2} \right) - \frac{1}{2} \left( 0 - \frac{1}{2} \right) \\ &= \frac{1}{2} \left( \frac{e^2}{2} \right) + \frac{1}{4} \\ &= \frac{e^2 + 1}{4} \end{aligned} \]
Question 2
Calcul de l'intégrale $ C $
  • On pose : \[ \begin{aligned} u(x) &= x+3 & \implies u'(x) &= 1 \\ v'(x) &= e^{-x} & \implies v(x) &= -e^{-x} \end{aligned} \] Les fonctions $ u $ et $ v $ sont continĂ»ment dĂ©rivables sur $ [0; 1] $.
  • En intĂ©grant par parties : \[ \begin{aligned} C &= \left[ -(x+3)e^{-x} \right]_0^1 - \int_0^1 \left(-e^{-x}\right) \,dx \\ &= \left( -4e^{-1} - (-3) \right) + \left[ -e^{-x} \right]_0^1 \\ &= 3 - 4e^{-1} + \left( -e^{-1} - (-1) \right) \\ &= 4 - 5e^{-1} \\ &= 4 - \frac{5}{e} \end{aligned} \]

Calcul de l'intégrale $ D $
  • On pose : \[ \begin{aligned} u(x) &= 4x-1 & \implies u'(x) &= 4 \\ v'(x) &= e^{3x} & \implies v(x) &= \frac{1}{3}e^{3x} \end{aligned} \] Les fonctions $ u $ et $ v $ sont continĂ»ment dĂ©rivables sur $ \left[0; \frac{1}{2}\right] $.
  • Par la formule d'intĂ©gration par parties : \[ \begin{aligned} D &= \left[ \frac{4x-1}{3}e^{3x} \right]_0^{\frac{1}{2}} - \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{4}{3}e^{3x} \,dx \\ &= \left( \frac{1}{3}e^{\frac{3}{2}} - \left(-\frac{1}{3}\right) \right) - \left[ \frac{4}{9}e^{3x} \right]_0^{\frac{1}{2}} \\ &= \frac{1}{3}e^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{3} - \left( \frac{4}{9}e^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{9} \right) \\ &= -\frac{1}{9}e^{\frac{3}{2}} + \frac{7}{9} \end{aligned} \]
Calcul de l'intégrale $ E $
  • On pose : \[ \begin{aligned} u(x) &= x & \implies u'(x) &= 1 \\ v'(x) &= \cos^2(2x) = \frac{1+\cos(4x)}{2} & \implies v(x) &= \frac{x}{2} + \frac{\sin(4x)}{8} \end{aligned} \] Les fonctions $ u $ et $ v $ sont continĂ»ment dĂ©rivables sur $ \left[0; \frac{\pi}{4}\right] $.
  • On applique l'intĂ©gration par parties : \[ \begin{aligned} E &= \left[ x \left( \frac{x}{2} + \frac{\sin(4x)}{8} \right) \right]_0^{\frac{\pi}{4}} - \int_0^{\frac{\pi}{4}} \left( \frac{x}{2} + \frac{\sin(4x)}{8} \right) \,dx \\ &= \frac{\pi}{4} \left( \frac{\pi}{8} + 0 \right) - \left[ \frac{x^2}{4} - \frac{\cos(4x)}{32} \right]_0^{\frac{\pi}{4}} \\ &= \frac{\pi^2}{32} - \left( \left( \frac{\pi^2}{64} - \frac{\cos(\pi)}{32} \right) - \left( 0 - \frac{\cos(0)}{32} \right) \right) \\ &= \frac{\pi^2}{32} - \left( \frac{\pi^2}{64} + \frac{1}{32} + \frac{1}{32} \right) \\ &= \frac{\pi^2}{32} - \frac{\pi^2}{64} - \frac{1}{16} \\ &= \frac{\pi^2 - 4}{64} \end{aligned} \]

Calcul de l'intégrale $ F $
  • On rĂ©Ă©crit l'intĂ©grande sous la forme $ x^2 \cdot x\sqrt{x^2+1} $ et on pose : \[ \begin{aligned} u(x) &= x^2 & \implies u'(x) &= 2x \\ v'(x) &= x\sqrt{x^2+1} & \implies v(x) &= \frac{1}{3}(x^2+1)^{\frac{3}{2}} \end{aligned} \] Les fonctions $ u $ et $ v $ sont continĂ»ment dĂ©rivables sur $ \left[0; \sqrt{3}\right] $.
  • L'intĂ©gration par parties donne : \[ \begin{aligned} F &= \left[ \frac{1}{3}x^2(x^2+1)^{\frac{3}{2}} \right]_0^{\sqrt{3}} - \int_0^{\sqrt{3}} \frac{2}{3}x(x^2+1)^{\frac{3}{2}} \,dx \\ &= \left( \frac{1}{3}(3)(4)^{\frac{3}{2}} - 0 \right) - \left[ \frac{2}{15}(x^2+1)^{\frac{5}{2}} \right]_0^{\sqrt{3}} \\ &= 8 - \frac{2}{15}\left( 4^{\frac{5}{2}} - 1^{\frac{5}{2}} \right) \\ &= 8 - \frac{2}{15}(32 - 1) \\ &= 8 - \frac{62}{15} \\ &= \frac{58}{15} \end{aligned} \]
Calcul de l'intégrale $ G $
  • On pose : \[ \begin{aligned} u(x) &= x+2 & \implies u'(x) &= 1 \\ v'(x) &= \frac{1}{\sqrt{x+5}} & \implies v(x) &= 2\sqrt{x+5} \end{aligned} \] Les fonctions $ u $ et $ v $ sont continĂ»ment dĂ©rivables sur $ [-1; 4] $.
  • L'intĂ©gration par parties s'Ă©crit : \[ \begin{aligned} G &= \left[ 2(x+2)\sqrt{x+5} \right]_{-1}^4 - \int_{-1}^4 2\sqrt{x+5} \,dx \\ &= \left( 2(6)\sqrt{9} - 2(1)\sqrt{4} \right) - \left[ \frac{4}{3}(x+5)^{\frac{3}{2}} \right]_{-1}^4 \\ &= (36 - 4) - \frac{4}{3}\left( 9^{\frac{3}{2}} - 4^{\frac{3}{2}} \right) \\ &= 32 - \frac{4}{3}(27 - 8) \\ &= 32 - \frac{76}{3} \\ &= \frac{20}{3} \end{aligned} \]

Calcul de l'intégrale $ H $
  • On remarque que $ x \sin x \cos x = \frac{1}{2} x \sin(2x) $ et on pose : \[ \begin{aligned} u(x) &= \frac{1}{2}x & \implies u'(x) &= \frac{1}{2} \\ v'(x) &= \sin(2x) & \implies v(x) &= -\frac{1}{2}\cos(2x) \end{aligned} \] Les fonctions $ u $ et $ v $ sont continĂ»ment dĂ©rivables sur $ \left[0; \frac{\pi}{2}\right] $.
  • On effectue l'intĂ©gration par parties : \[ \begin{aligned} H &= \left[ -\frac{1}{4}x\cos(2x) \right]_0^{\frac{\pi}{2}} - \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left(-\frac{1}{4}\cos(2x)\right) \,dx \\ &= \left( -\frac{\pi}{8}\cos(\pi) - 0 \right) + \left[ \frac{1}{8}\sin(2x) \right]_0^{\frac{\pi}{2}} \\ &= \frac{\pi}{8} + (0 - 0) \\ &= \frac{\pi}{8} \end{aligned} \]